Frontiera integrale doppio
Buonasera... mi aiutate a capire perchè sbaglio? Ho a che fare con l'integrale
$int int_(T)^()e^{(x-y)/(x+y)} \ dx \ dy$ dove T è il triangolo del piano x,y di vertici $ (0,0) ; (1,0) ; (0,1).$
Io pratico il cambiamento di variabili:
${ ( u=x-y ),( u=x+y ):}$ e risolvo l'integrale... il problema è che il libro riporta il triangolo nella forma :
$T={ (x,y) in RR ^2: x >= 0 ,y >= 0 , x+y <= 1 }$ mentre io nella forma:
$T={ (x,y) in RR ^2: 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 1-x } $...
a quanto pare non esce la stessa cosa se vado ad effettuare il cambio di variabili con la frontiera scritta in questo modo, mi spiegate l'errore? Ormai ero sicuro di non sbagliare più su queste cose
!
$int int_(T)^()e^{(x-y)/(x+y)} \ dx \ dy$ dove T è il triangolo del piano x,y di vertici $ (0,0) ; (1,0) ; (0,1).$
Io pratico il cambiamento di variabili:
${ ( u=x-y ),( u=x+y ):}$ e risolvo l'integrale... il problema è che il libro riporta il triangolo nella forma :
$T={ (x,y) in RR ^2: x >= 0 ,y >= 0 , x+y <= 1 }$ mentre io nella forma:
$T={ (x,y) in RR ^2: 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 1-x } $...
a quanto pare non esce la stessa cosa se vado ad effettuare il cambio di variabili con la frontiera scritta in questo modo, mi spiegate l'errore? Ormai ero sicuro di non sbagliare più su queste cose
!
Risposte
E sono la stessa cosa (prova a fare un disegno se non ci credi)...
E' quello che penso anche io ma quando poi vado a sostituire le mie nuove coordinate lineari nella frontiera non mi viene la stessa cosa! Forse farò qualche errore di calcolo.
Scusa mi potresti fare vedere come effettui il cambio di variabili nella scrittura della frontiera per poi avere gli intervalli dei due integrali definiti? E' da qui che non mi trovo!
"ciampax":
E sono la stessa cosa (prova a fare un disegno se non ci credi)...
Ancora non riesco a risolvere questo problema. Abbiamo detto che le due scritture:
$T={ (x,y) in RR ^2: x >= 0 ,y >= 0 , x+y <= 1 }$
$T={ (x,y) in RR ^2: 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 1-x } $ descrivono la stessa frontiera!
Ma allora perchè quando vado a sostituire le coordinate lineari
${ ( u=x-y ),( v=x+y ):}$ per trovare gli intervalli dei due intregrali definiti non mi trovo?
Allora io procedo così.Mi ricavo la $x$ e la $y$ in funzione di $u$ e $v$. Detto questo ho:
${ ( x=(u+v)/2 ),( y=(v-u)/2 ):}$
A questo punto vado a sostuire nella frontiera. Fatto sta che se sostituisco le nuove coordinate nella frontiera che io ho scritto viene:
$0 <= (u+v)/2 <= 1$ da cui se non sbaglio i calcoli $-v <= u <= 2-v$ e $0 <= (v-u)/2 <= 1-((u+v))/2$ da cui $ u <= v <= 1$.
Sul libro invece viene così visto che prende in considerazione la prima scrittura:
$-v <= u <= v$ e $0 <= v <= 1$.
Questi sarebbero i grafici delle due frontiere( scusate li ho fatti con paint)
. In effetti dovrebbero essere la stessa cosa...http://i53.tinypic.com/szjv9y.png
Graficamente è facile verificare che sono lo stesso dominio. Effettivamente usando la tua rappresentazione di $T$ diventa un po' più complicato riuscire a vedere come debba normalizzarsi il dominio stesso, ma non è impossibile. Poiché
$0\le u+v\le 2,\qquad 0\le v-u\le 2-u-v$
e puoi scrivere la seconda come $u+v\le 2v\le 2$. Ma visto che vale la prima si ha pure $0\le u+v\le 2v\le 2$ e prendendo solo gli estremi di questa limitazione e il termine $2v$, $0\le v\le 1$. A questo punto dalla prima si ha $-v\le u\le 2-v$ (la seconda disuguaglianza è ovvia) mentre possiamo riscrivere la seconda come $u+v-2\le u-v\le 0$ e anche $u-2\le u\le v$ dove, stavolta, è la prima disuguaglianza ad essere ovvia. ne segue che $-v\le u\le v$.
$0\le u+v\le 2,\qquad 0\le v-u\le 2-u-v$
e puoi scrivere la seconda come $u+v\le 2v\le 2$. Ma visto che vale la prima si ha pure $0\le u+v\le 2v\le 2$ e prendendo solo gli estremi di questa limitazione e il termine $2v$, $0\le v\le 1$. A questo punto dalla prima si ha $-v\le u\le 2-v$ (la seconda disuguaglianza è ovvia) mentre possiamo riscrivere la seconda come $u+v-2\le u-v\le 0$ e anche $u-2\le u\le v$ dove, stavolta, è la prima disuguaglianza ad essere ovvia. ne segue che $-v\le u\le v$.
grazie era questo che volevo... alla fine per lo svolgimento dell'integrale è meglio riscrivere la frontiera in questo modo!
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