Frontiera di un insieme compatto in $RR^3$
Domanda veloce di topologia elementare.
Sia $V \subset RR^3$ compatto, e quindi chiuso e limitato. Posso concludere che la frontiera $\partial V$ di $V$ sia una superficie chiusa?
Se sì, la compattezza è necessaria o basta la chiusura e il fatto che sia limitato?
Grazie
Sia $V \subset RR^3$ compatto, e quindi chiuso e limitato. Posso concludere che la frontiera $\partial V$ di $V$ sia una superficie chiusa?
Se sì, la compattezza è necessaria o basta la chiusura e il fatto che sia limitato?
Grazie
Risposte
In uno spazio metrico compatto e chiuso+limitato sono la stessa cosa 
(teorema di heine borel).
(teorema di heine borel).
"lucillina":
In uno spazio metrico compatto e chiuso+limitato sono la stessa cosa
Ok grazie, qui escono le lacune ingegneristiche
"Emar":
Sia $V \subset RR^3$ compatto, e quindi chiuso e limitato. Posso concludere che la frontiera $\partial V$ di $V$ sia una superficie chiusa?
Nessuno sa rispondermi?
No, non puoi concluderlo.
Grazie Rigel. E sai dirmi anche che condizioni mi servirebbero per poter affermare ciò?
Intanto dipende da cosa intendi con "superficie".
Tipicamente, se il problema è applicare teoremi della divergenza o simili, si suppone che l'insieme sia di classe \(C^1\).
Detto sbrigativamente, questo significa che localmente \(\partial V\) è il grafico di una funzione di classe \(C^1\) (in un opportuno sistema di coordinate).
Trovi la definizione precisa, ad esempio, sul Brezis, "Analisi funzionale".
Tipicamente, se il problema è applicare teoremi della divergenza o simili, si suppone che l'insieme sia di classe \(C^1\).
Detto sbrigativamente, questo significa che localmente \(\partial V\) è il grafico di una funzione di classe \(C^1\) (in un opportuno sistema di coordinate).
Trovi la definizione precisa, ad esempio, sul Brezis, "Analisi funzionale".
"Emar":
E sai dirmi anche che condizioni mi servirebbero per poter affermare ciò?
In realtà non c'è alcun legame tra la compattezza di un insieme e la regolarità del suo bordo.
Ad esempio, l'insieme \(\{ x_1,x_2\}\subseteq \mathbb{R}^3\) è compatto, ma il suo bordo è discreto quindi non ha alcuna proprietà di regolarità.
Analogamente, credo avrai presente la construzione della cosiddetta isola di Koch, o fiocco di neve, in \(\mathbb{R}^2\): essa è un compatto connesso con la frontiera del tutto irregolare (i.e., la curva continua che descrive il bordo non è dotata di vettore tangente in nessun punto).
Costruzioni del genere si possono fare anche in \(\mathbb{R}^3\), in modo da ottenere compatti connessi con frontiere del tutto irregolari.
Quindi, quando si vuole che un compatto abbia frontiera regolare, bisogna richiederlo espressamente.
"Rigel":
Tipicamente, se il problema è applicare teoremi della divergenza o simili, si suppone che l'insieme sia di classe \(C^1\).
C'hai visto giusto. Sto tentando di esporre con rigore il teorema di Gauss (o del flusso) nella sua versione integrale. Di conseguenza ho bisogno che il "volume" che contiene le sorgenti di campo sia racchiuso da una superficie chiusa.
"gugo82":
[quote="Emar"]E sai dirmi anche che condizioni mi servirebbero per poter affermare ciò?
In realtà non c'è alcun legame tra la compattezza di un insieme e la regolarità del suo bordo.
Quindi, quando si vuole che un compatto abbia frontiera regolare, bisogna richiederlo espressamente.[/quote]
Capito. Quindi nelle ipotesi del teorema devo richiedere che $\partial V$ sia regolare.
Grazie ragazzi!
"lucillina":
In uno spazio metrico compatto e chiuso+limitato sono la stessa cosa
Per fortuna a Emar interessava soltanto $RR^3$, visto che questa affermazione è falsa.
Come ben noto, oltretutto, la proprietà di limitatezza per uno spazio metrico vale quanto il due di picche. Grazie a questa ovvietà, si costruisce subito un esempio: si prende un qualsiasi insieme infinito, ci si piazza su la metrica discreta. Et voilà, uno spazio metrico chiuso e limitato. Ma mica tanto compatto
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