Frontiera di un dominio in R^3
Salve ragazzi, vorrei chiedervi: dato un insieme in R^3 come potrei parametrizzare la sua frontiera? Immagino che il dominio in R^3 sia un solido e la frontiera una superficie, nella fattispecie propongo un esercizio. Grazie
Risposte
Help please
Guys? Help please
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Ciao luigi
modifica il post iniziale togliendo la foto e riscrivendo tutto con le formule
(un domani questa discussione potrebbe servire a qualcun altro e se il testo scompare - a volte con le immagini succede - non si capirebbe di cosa stiamo parlando
Ora veniamo a noi
La seconda condizione $x^2+y^2<=9$ è facile da "vedere" si tratta di un cilindro illimitato di raggio 3 che ha l'asse z al suo centro
Sulla prima proviamo a ragionare insieme
$x^2+z^2<=y^2+10$
Che idee hai?
modifica il post iniziale togliendo la foto e riscrivendo tutto con le formule
(un domani questa discussione potrebbe servire a qualcun altro e se il testo scompare - a volte con le immagini succede - non si capirebbe di cosa stiamo parlando
Ora veniamo a noi
La seconda condizione $x^2+y^2<=9$ è facile da "vedere" si tratta di un cilindro illimitato di raggio 3 che ha l'asse z al suo centro
Sulla prima proviamo a ragionare insieme
$x^2+z^2<=y^2+10$
Che idee hai?
comincerò io
poi magari interviene qualcun altro che ci aiuta
secondo me il modo più facile per capire con che razza di superficie abbiamo a che fare è provare a vedere cosa succede quando $y=k$, ci limiteremo a $k>=0$, tanto essendoci $y^2$ la questione è simmetrica
iniziamo con $y=0$, abbiamo una circonferenza sul piano $xz$ con centro nell'origine e raggio $sqrt10$, spostiamoci lungo l'asse $y$, e proviamo a vedere cosa succede: sempre una circonferenza su un piano parallelo al precedente e centro in $C(0,1,0)$ e raggio $sqrt11$, passiamo a $y=2$ circonferenza di centro $(0;2;0)$ e raggio $sqrt14$, $y=3$ circonferenza di raggio $sqrt19$, vediamo che questo oggetto sembra un "vaso" con l'asse coincidente con l'asse y che si stringe al massimo in corrispondeza del piano $xz$ e poi si allargasia seguendo sia il semiasse positivo che il semiasse negativo.
poi magari interviene qualcun altro che ci aiuta
secondo me il modo più facile per capire con che razza di superficie abbiamo a che fare è provare a vedere cosa succede quando $y=k$, ci limiteremo a $k>=0$, tanto essendoci $y^2$ la questione è simmetrica
iniziamo con $y=0$, abbiamo una circonferenza sul piano $xz$ con centro nell'origine e raggio $sqrt10$, spostiamoci lungo l'asse $y$, e proviamo a vedere cosa succede: sempre una circonferenza su un piano parallelo al precedente e centro in $C(0,1,0)$ e raggio $sqrt11$, passiamo a $y=2$ circonferenza di centro $(0;2;0)$ e raggio $sqrt14$, $y=3$ circonferenza di raggio $sqrt19$, vediamo che questo oggetto sembra un "vaso" con l'asse coincidente con l'asse y che si stringe al massimo in corrispondeza del piano $xz$ e poi si allargasia seguendo sia il semiasse positivo che il semiasse negativo.
mi sa che è diventato un monologo...
se qualcuno di diverso dall'op vuole intervenire è il benvenuto, l'esercizio mi piace e vorrei venirne a capo
anyway vogliamo vedere come è il profilo di questo "vaso" (generatrice, si dice così?)
concentriamoci sul piano $xy$ e consideriamo quindi $z=0$
l'equazione $x^2+z^2<=y^2+10$
diventa $x^2+0<=y^2 +10$
$x^2-y^2<=10$
$x^2/10 - y^2/10<=1$
cioè una iperbole equilatera con le intersezioni sull'asse delle x
se qualcuno di diverso dall'op vuole intervenire è il benvenuto, l'esercizio mi piace e vorrei venirne a capo
anyway vogliamo vedere come è il profilo di questo "vaso" (generatrice, si dice così?)
concentriamoci sul piano $xy$ e consideriamo quindi $z=0$
l'equazione $x^2+z^2<=y^2+10$
diventa $x^2+0<=y^2 +10$
$x^2-y^2<=10$
$x^2/10 - y^2/10<=1$
cioè una iperbole equilatera con le intersezioni sull'asse delle x
ciao! 
non capisco perchè sollecitare così tanto se poi non rientra, anyway....
premetto che non saprei risolvere l'esercizio però io direi che $x^2+z^2 = y^2+10$ rappresenta un cono con asse lungo y.
"gio73":
mi sa che è diventato un monologo...
non capisco perchè sollecitare così tanto se poi non rientra, anyway....
premetto che non saprei risolvere l'esercizio però io direi che $x^2+z^2 = y^2+10$ rappresenta un cono con asse lungo y.
Grazie mille per la risposta, mi scuso immensamente per la non risposta (si è rotto il router e non ho avuto connessione in questi giorni). Ad ogni modo apprezzo molto il tuo intervento, allora la questione più impellente era " dato un insieme di R^3 è, è giusto dire che la frontiera è una superficie? (Di questo sarei abbastanza sicuro, ma non si sa mai). Poi nello specifico dell'esercizio, ancora non mi è chiaro... Grazie ancora
Ciao luigi
io sono in grado solo di risolvere la parte si tracci un disegno approssimativo di D
io sono in grado solo di risolvere la parte si tracci un disegno approssimativo di D
Dunque
possiamo osservare che $sqrt10>3$ che è il raggio del nostro cilindro, di conseguenza il nostro cilindro non hai i fianchi che si intersecano con l'iperboloide , ma risulta tappato da esso sia a destra che a sinistra (immagina il cilindro con l'asse orizzontale rispetto all'iperboloide della figura)
possiamo osservare che $sqrt10>3$ che è il raggio del nostro cilindro, di conseguenza il nostro cilindro non hai i fianchi che si intersecano con l'iperboloide , ma risulta tappato da esso sia a destra che a sinistra (immagina il cilindro con l'asse orizzontale rispetto all'iperboloide della figura)
Questo thread proiprio attrae nobody
speriamo che cooper intervenga again
non mi pare, magari però sbaglio io, perchè dici che è un cono?
speriamo che cooper intervenga again
"cooper":
premetto che non saprei risolvere l'esercizio però io direi che $x^2+z^2 = y^2+10$ rappresenta un cono con asse lungo y.
non mi pare, magari però sbaglio io, perchè dici che è un cono?
in effetti no.. non so perchè ma ho considerato il termine noto nullo e non pari a 10. allora si direi anche io che sia un iperboloide. non capisco però cosa intendi che i fianchi non intersecano l'iperboloide.
il raggio del cilindro è minere del raggio minimo dell'iperboloide di conseguenza rimane "dentro" il profilo dell'iperboloide, ne è solo "tappato". Immagina di scavare una "carota" orizzontale rispetto all'iperboloide della figura, le pareti della carota non toccano l'iperboloide di lato.
Mi rendo conto che descrivere una figura a parole è difficile...
Mi rendo conto che descrivere una figura a parole è difficile...
ah ok si è come me lo immagino anche io da quanto credo di aver capito allora!
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