Frontiera di un chiuso orientata positivamente
Ciao a tutti, sono un vecchio laureato e nel tempo libero mi piace rivedere alcuni argomenti studiati in passato, in particolare quelli che all'epoca mi hanno dato più problemi.
Tra questi c'è il discorso della frontiera oreintata positivamente di un chiuso di $R^2$ come nelle ipotesi del teorema di Green.
La versione che trovo praticamente ovunque ossia del verso che corrisponde a lasciare a sinistra il chiuso, anche se ha il pregio di essere intuitiva, non mi convince e vorrei qualcosa di più preciso.
Possiedo una copia del libro di Rudin "Principi di Analisi Matematica" ed effettivamente segue un altro approccio che però per me risulta troppo complicato, partendo dal simplesso canonico \(\displaystyle Q^k \), passando per quello che chiama k-simplesso affine orientato, arrivando a definire la frontiera come una (k-1)-catena.
È possibile che non ci sia una via di mezzo?
Qualche aiuto?
Tra questi c'è il discorso della frontiera oreintata positivamente di un chiuso di $R^2$ come nelle ipotesi del teorema di Green.
La versione che trovo praticamente ovunque ossia del verso che corrisponde a lasciare a sinistra il chiuso, anche se ha il pregio di essere intuitiva, non mi convince e vorrei qualcosa di più preciso.
Possiedo una copia del libro di Rudin "Principi di Analisi Matematica" ed effettivamente segue un altro approccio che però per me risulta troppo complicato, partendo dal simplesso canonico \(\displaystyle Q^k \), passando per quello che chiama k-simplesso affine orientato, arrivando a definire la frontiera come una (k-1)-catena.
È possibile che non ci sia una via di mezzo?
Qualche aiuto?
Risposte
Puoi trovare una spiegazione più intuitiva della scelta di una orientazione in termini della scelta di una classe di omologia, ma non sarà qualcosa che sta esattamente in mezzo tra "lasciare a sinistra il chiuso" e "la definizione astratta".
Ti ringrazio per la risposta. Non conosco le classi di omologia, da quanto ho trovato in rete mi sembra che così andrei verso un'astrattezza ancora maggiore rispetto a quanto ho trovato sul Rudin, trattandosi di topologia algebrica.
Io cerco forse qualcosa che non esiste, e cioè qualcosa di più convincente e "matematico" del lasciare tutto a sinistra percorrendo la frontiera, ma non così generale ed astratto.
Io cerco forse qualcosa che non esiste, e cioè qualcosa di più convincente e "matematico" del lasciare tutto a sinistra percorrendo la frontiera, ma non così generale ed astratto.
Penso che tu possa tranquillamente definire l'orientazione del bordo di un dominio \(D \subset \mathbb{R}^2\) parametrizzando (quando è possibile, quando hai una curva \(C^1\) di sicuro è possibile) il tuo bordo, \( \gamma : [0,1] \to \mathbb{R}^2\), \( t \mapsto \gamma(t)=(x(t),y(t))\). Dove \( \gamma([0,1])=\partial D\). Informalmente parlando, per ogni punto \( t \in [0,1]\) prendi il vettore tangente in \(t\), vedi se il vettore ruotato in senso antiorario di 90 gradi ("a sinistra") sta nel interno del dominio. Più rigorosamente \( \gamma \) è orientata positivamente se per ogni \( t\) esiste \( \epsilon >0 \) tale che \( \gamma(t)+ \epsilon n(t) \in D\). Dove \( n(t) = (-y'(t),x'(t)) \) e \( \gamma'(t) = (x'(t), y'(t)) \).
Se questo non succede puoi tranquillamente ruotarlo in senso orario, prendi \(n(t)=(y'(t),-x'(t))\) (l'orientazione è negativa)
Se questo non succede puoi tranquillamente ruotarlo in senso orario, prendi \(n(t)=(y'(t),-x'(t))\) (l'orientazione è negativa)
"3m0o":
Penso che tu possa tranquillamente definire l'orientazione del bordo di un dominio \(D \subset \mathbb{R}^2\) parametrizzando (quando è possibile, quando hai una curva \(C^1\) di sicuro è possibile) il tuo bordo, \( \gamma : [0,1] \to \mathbb{R}^2\), \( t \mapsto \gamma(t)=(x(t),y(t))\). Dove \( \gamma([0,1])=\partial D\). Informalmente parlando, per ogni punto \( t \in [0,1]\) prendi il vettore tangente in \(t\), vedi se il vettore ruotato in senso antiorario di 90 gradi ("a sinistra") sta nel interno del dominio. Più rigorosamente \( \gamma \) è orientata positivamente se per ogni \( t\) esiste \( \epsilon >0 \) tale che \( \gamma(t)+ \epsilon n(t) \in D\). Dove \( n(t) = (-y'(t),x'(t)) \) e \( \gamma'(t) = (x'(t), y'(t)) \).
Se questo non succede puoi tranquillamente ruotarlo in senso orario, prendi \(n(t)=(y'(t),-x'(t))\) (l'orientazione è negativa)
Ti ringrazio, Effettivamente, per me, così è già più preciso come discorso. Esplicito i passaggi per vedere la situazione. Ruotare a sinistra di 90 gradi il vettore tangente significa fare:[tex]\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\end{pmatrix}=(-y'(t),x'(t))[/tex] dove questo sarebbe, se l'orientazione è davvero quella positiva, il vettore normale interno, che viene poi normalizzato ottenendo il versore normale interno che indico con $\hat{n}_i(t)$.
Devo pensare un attimo al fatto della semiretta $\gamma(t) + \epsilon\hat{n}_i(t)$ che per un certo $\epsilon>0$ sta in $D$ perché questo, in teoria, potrebbe essere vero anche se al posto del versore normale interno metto quello esterno (se il chiuso ha una forma particolare, ad esempio, se fa una curva ad U per cui per un certo $\epsilon$ il punto può cadere in $D$ anche mettendo il versore normale esterno come vettore direttore), ma appunto ci devo pensare su.
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