Frazioni continue
le frazioni continue possono essere usate per approssimare numeri razionali o irrazionali..
il testo mi porta l'esempio $r=(964)/(437)=[2;4,1,5,1,12]
ecco la domanda è: c'è un modo per calcolare la sequenza di numeri che da origine alla frazione continua?...se si quale?.. nel senso, restando sull'esempio, qual'è il metodo per ricavare quella frazione continua?...
poi un altra cosa, come si dimostra che nella successione di fibonacci $F_(n+1)/F_n=[1;1,1,...1]$?
grazie a tt
il testo mi porta l'esempio $r=(964)/(437)=[2;4,1,5,1,12]
ecco la domanda è: c'è un modo per calcolare la sequenza di numeri che da origine alla frazione continua?...se si quale?.. nel senso, restando sull'esempio, qual'è il metodo per ricavare quella frazione continua?...
poi un altra cosa, come si dimostra che nella successione di fibonacci $F_(n+1)/F_n=[1;1,1,...1]$?
grazie a tt
Risposte
L'algoritmo di Euclide. Strano che il tuo libro non lo nomini. I quozienti parziali che ottieni sono esattamente gli interi della sequenza della frazione continua. Può essere facilmente dimostrabile per induzione. Se ti interessa, ti posto la dimostrazione.
Per quanto riguarda la sezione aurea, ottieni quel risultato tenendo conto della ricorsione $F_(n+2)=F_(n+1)+F_n$. Cioè $(F_(n+1))/(F_n)=(F_(n-1))/(F_n)+1...$, usando sempre l'algoritmo di Euclide. Oppure puoi dimostrarlo, usando la formula chiusa per $F_n$.
Per quanto riguarda la sezione aurea, ottieni quel risultato tenendo conto della ricorsione $F_(n+2)=F_(n+1)+F_n$. Cioè $(F_(n+1))/(F_n)=(F_(n-1))/(F_n)+1...$, usando sempre l'algoritmo di Euclide. Oppure puoi dimostrarlo, usando la formula chiusa per $F_n$.
"Crook":
L'algoritmo di Euclide. Strano che il tuo libro non lo nomini. I quozienti parziali che ottieni sono esattamente gli interi della sequenza della frazione continua. Può essere facilmente dimostrabile per induzione. Se ti interessa, ti posto la dimostrazione.
Per quanto riguarda la sezione aurea, ottieni quel risultato tenendo conto della ricorsione $F_(n+2)=F_(n+1)+F_n$. Cioè $(F_(n+1))/(F_n)=(F_(n-1))/(F_n)+1...$, usando sempre l'algoritmo di Euclide. Oppure puoi dimostrarlo, usando la formula chiusa per $F_n$.
dell'algoritmo di euclide nomina un esempio per caso, ma sulle funzioni continue nn lo nominava...
ora ho capito, grazie
beh se nn ti pesa, puoi postarmi la dimostrazione? 
garzie mill!
garzie mill!
Vediamo, allora:
Teorema: Siano $a,b$ interi con $b\ge1$. Se l'algoritmo di Euclide ha lunghezza $n$ con una sequenza di quozienti parziali $q_0,q_1,\ldots,q_(n-1)$, allora si ha che $a/b=[q_0;q_1,\ldots,q_(n-1)]$.
Premessa: studiati bene il senso (semplice) di questo algoritmo celeberrimo. Siano $r_0=a,r_1=b$. Procedo per induzione su $n$. Per $n=1,2$ è chiaramente verificato il teorema, quindi supponiamo sia vero per interi $a$ e $b\ge1$, il cui algoritmo di Euclide ha lunghezza $n$.
Siano $a$ e $b\ge1$ interi il cui algoritmo di Euclide (AdE) ha lunghezza $n+1$ e i cui quozienti parziali sono $[q_0;q_1,\ldots,q_(n-1)]$. Quindi
$r_0=r_1q_0+r_2$
$r_1=r_2q_2+r_3$
$\qquad \vdots$
$r_(n-1)=r_nq_(n-1)+r_(n+1)$
$r_n=r_(n+1)q_n$.
sono le $n+1$ equazioni dell'AdE per $a=r_0,b=r_1$. L'AdE di $r_1$ e $r_2$ avrà lunghezza $n$, con quozienti parziali $q_1,\ldots,q_n$. Segue dall'induzione che $r_1/r_2=[q_1;q_2,\ldots,q_n]$, quindi anche $a/b=r_0/r_1=q_0+1/(r_1/r_2)=q_0+1/([q_1;q_2,\ldots,q_n])=[q_0;q_1,\ldots,q_n]$.
Teorema: Siano $a,b$ interi con $b\ge1$. Se l'algoritmo di Euclide ha lunghezza $n$ con una sequenza di quozienti parziali $q_0,q_1,\ldots,q_(n-1)$, allora si ha che $a/b=[q_0;q_1,\ldots,q_(n-1)]$.
Premessa: studiati bene il senso (semplice) di questo algoritmo celeberrimo. Siano $r_0=a,r_1=b$. Procedo per induzione su $n$. Per $n=1,2$ è chiaramente verificato il teorema, quindi supponiamo sia vero per interi $a$ e $b\ge1$, il cui algoritmo di Euclide ha lunghezza $n$.
Siano $a$ e $b\ge1$ interi il cui algoritmo di Euclide (AdE) ha lunghezza $n+1$ e i cui quozienti parziali sono $[q_0;q_1,\ldots,q_(n-1)]$. Quindi
$r_0=r_1q_0+r_2$
$r_1=r_2q_2+r_3$
$\qquad \vdots$
$r_(n-1)=r_nq_(n-1)+r_(n+1)$
$r_n=r_(n+1)q_n$.
sono le $n+1$ equazioni dell'AdE per $a=r_0,b=r_1$. L'AdE di $r_1$ e $r_2$ avrà lunghezza $n$, con quozienti parziali $q_1,\ldots,q_n$. Segue dall'induzione che $r_1/r_2=[q_1;q_2,\ldots,q_n]$, quindi anche $a/b=r_0/r_1=q_0+1/(r_1/r_2)=q_0+1/([q_1;q_2,\ldots,q_n])=[q_0;q_1,\ldots,q_n]$.
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