Fratti semplici con polinomio di terzo grado

[Deserere]

buongiorno a tutti, è il mio primo post quindi spero di non aver commesso errori di sezione o altro.
Vi espongo il mio dubbio circa questo esercizio:

\[ \int \frac{1}{x^3 (1+x^2)}\text{d} x \]

il problema è chiaramente da risolversi con il metodo dei fratti semplici, devo quindi ridurre la frazione ad una somma di polinomi di primo o secondo grado.
Ho pensato di procedere nel seguente modo:
\[ (1+x^2) \] si può scomporre come

\[ \frac{Ax+B}{(1+x^2)}\]

mentre per \[ x^3\] ho pensato di scomporlo come:
\[ \frac{Cx+D}{(x^2)}+\frac{E}{(x)}\]

tuttavia lo svolgimento mostra questo passaggio di scomposizione:
\[ \frac{A}{(x)}+\frac{BX+C}{(1+x^2)}+\frac{d}{(dx)}\frac{DX+E}{(x^2)}\]
che sucessivamente diventa:
\[ \frac{A}{(x)}+\frac{BX+C}{(1+x^2)}+\frac{-DX-2E}{(x^3)}\]

qui mi sono bloccato dal momento che non trovo da nessuna parte una formula per scomporre
\[ (x^3)\] e non capisco perchè il mio ragionamento è errato ne che modo è stato utilizzato per arrivare alla scoposizione
\[ \frac{A}{(x)}+\frac{BX+C}{(1+x^2)}+\frac{d}{(dx)}\frac{DX+E}{(x^2)}\]

grazie mille e scusate ancora se ho commesso qualche errore

[quantunquemente]

dvi scomporla così :
$A/x+B/x^2+C/x^3+(Dx+E)/(1+x^2)$

[Deserere]

grazie mille!
suppongo che un ipotetico x^4 si risolva nel medesimo modo e così via per tutti gli altri

[quantunquemente]

"Deserere":suppongo che un ipotetico x^4 si risolva nel medesimo modo e così via per tutti gli altri

esattamente