Fratti semplici

[spiderontheweb]

Ciao a tutti

devo scomporre in fratti semplici questa funzione:
$f(z)=1/(z^2(2-z^9))$

In che modo posso procedere? $z^9$ mi mette un po' in difficoltà...

[gugo82]

Basta trovare le nove radici none di $2$ nel campo complesso (suppongo che $z in CC$, visto che è una notazione usuale): per questo c'è la nota formuletta.

Dette $z_1,\ldots ,z_9$ le radici none di $2$, ti rimane da determinare i 10 coefficienti $A_0,A_1,\ldots,A_9$ tali che:

$f(z)=A_0/z^2+A_1/(z-z_1)+\ldots +A_9/(z-z_9)$

e questo si fa come facevi per le funzioni reali (in particolare quando calcolavi i fratti semplici per risolvere un integrale).

[spiderontheweb]

Le radici none di 2 in camplo complesso sono:

$z=2^(1/9)*e^(2*j*k*pi/9)$ con $0 <= k < 9$ ?

[gugo82]

"spiderontheweb":Le radici none di 2 in camplo complesso sono:

$z=2^(1/9)*e^(2*j*k*pi/9)$ con $0 <= k < 9$ ?

Si.

[spiderontheweb]

Grazie!

Non so come farei senza il forum...

[gugo82]

"Gugo82":Basta trovare le nove radici none di $2$ nel campo complesso (suppongo che $z in CC$, visto che è una notazione usuale): per questo c'è la nota formuletta.

Dette $z_1,\ldots ,z_9$ le radici none di $2$, ti rimane da determinare i 10 coefficienti $A_0,A_1,\ldots,A_9$ tali che:

$f(z)=A_0/z^2+A_1/(z-z_1)+\ldots +A_9/(z-z_9)$

e questo si fa come facevi per le funzioni reali (in particolare quando calcolavi i fratti semplici per risolvere un integrale).

Ah, ricorda che $(z-z_1)*\ldots *(z-z_9)=(z^9-2)=-(2-z^9)$, altrimenti ti si sballano i conti!


Lo finisco per puro sfizio e metto i risultati (non numerici, perchè i calcoli mi scoccia farli! ) tra uno spoiler, così potrai controllare.

Abbiamo per costruzione (*) $quad 1/(z^2*\prod_(k=1)^9(z-z_k))=-1/(z^2(2-z^9))=A_0/z^2+\sum_(k=1)^9A_k/(z-z_k)$ per ogni $z in CC-{0,z_1,\ldots ,z_9}$.

Moltiplicando il secondo ed il terzo membro della (*) per $z^2$ e passandoli al limite per $zto 0$ otteniamo:

$A_0=lim_(z to 0) {A_0*z^2/z^2+\sum_(k=1)^9A_k*z^2/(z-z_k)}=lim_(z to0) -z^2/(z^2(2-z^9))=-1/2 quad$;

fissato $h in {1,\ldots ,9}$, moltiplicando il primo ed il terzo membro della (*) per $z-z_h$ e passandoli al limite per $z to z_h$ troviamo:

$A_h=lim_(z to z_h) {A_0*(z-z_h)/z^2+\sum_(k=1)^9A_k*(z-z_h)/(z-z_k)}=lim_(z to z_h)-(z-z_h)/(z^2*\prod_(k=1)^9(z-z_k))=-1/(z_h^2*\prod_(\stackrel{k=1,\ldots ,9}{k!=h}) (z_h-z_k))$.

Ovviamente quando si parla di calcoli sono l'ultimo di cui ci si possa fidare, perciò controlla bene!

[spiderontheweb]

[Camillo]

Dato che $z=0$ è radice doppia del denominatore bisogna aggiungere anche: $B_0/z$ nella scomposizione in fratti semplici.

[gugo82]

E questa pure è una realtà.

Grazie per avermelo ricordato Camillo.

[kappaquadro]

Salve, ho un problema simile e per evitare di aprire un nuovo post pongo qui il mio problema:

Devo scomporre in fratti semplici questa frazione: $1/(s^3(s^2+1))$ le soluzioni del denominatore che ho trovato sono (considerando come ipotesi che siamo nei complessi) : $s1=0, m1=3; s2=j, m2=1; s3=-j, m3=1;$

Già delle soluzioni vorrei una vostra coonferma, in ogni caso nel libro riporta la prima parte (a cui ero arrivato pure io):

$1/(s^3(s^2+1))=A/s+B/s^2+C/s^3+(Ds+E)/(s^2+1)$

Potreste dirmi come continuare per determinare le costanti? Dato che $(s^2+1)$ secondo me ha due soluzioni (j e -j) entrambi di molteplicità 1, non poteva svilupparsi come $D/(s-j)+E/(s+j)$ ??

Vi ringrazio già in anticipo per l'aiuto perchè tra Heaviside che si utilizza con radici di molteplicità 1 e radici con molteplicità maggiore mi sto confondendo un po.