Fratti semplici

[parallel1]

Non riesco a scomporre questa frazione nei suoi fratti semplici, mi aiutate ?

Mi sapreste anche indicare dove trovare un pò di esempi in merito.

$ (s+5)/(s^2*(s+2)^2*(s+1))$

Grazie

[Kroldar]

Avete studiato i residui?

[parallel1]

No, abbiamo iniziato il corso di controlli automatici da poco, forse li faremo, sul programma non ne parla cmq

[_nicola de rosa]

"parallel":Non riesco a scomporre questa frazione nei suoi fratti semplici, mi aiutate ?

Mi sapreste anche indicare dove trovare un pò di esempi in merito.

$ (s+5)/(s^2*(s+2)^2*(s+1))$

Grazie

Gli zeri del denominatore sono tutti reali e solo $s=0$ ed $s=-2$ con molteplicità $2$
Per cui
$ (s+5)/(s^2*(s+2)^2*(s+1))=A/s+B/s^2+C/(s+2)+D/(s+2)^2+E/(s+1)$ e col principio di identità dei polinomi troverai
${(A=-9/4),(B=5/4),(C=-7/4),(D=-3/4),(E=4):}$

[Kroldar]

Strano... "controlli automatici" dovrebbe avere la propedeuticità di "teoria dei sistemi", che a sua volta dovrebbe richiedere "metodi matematici". Boh, chissà.
Allora senza scendere nel merito ti scrivo la formula da adottare.

Le costanti che vuoi trovare, cioè i numeratori dei fratti semplici, sono dati dalla seguente:
$1/((N-1)!) lim_(stos_0) (d^(N-1))/(ds^(N-1)) [(s-s_0)^N] f(s)$

Dove $N$ indica l'ordine del polo del denominatore.

[_nicola de rosa]

"Kroldar":Strano... "controlli automatici" dovrebbe avere la propedeuticità di "teoria dei sistemi", che a sua volta dovrebbe richiedere "metodi matematici". Boh, chissà.
Allora senza scendere nel merito ti scrivo la formula da adottare.

Le costanti che vuoi trovare, cioè i numeratori dei fratti semplici, sono dati dalla seguente:
$1/((N-1)!) lim_(stos_0) (d^(N-1))/(ds^(N-1)) [(s-s_0)^N] f(s)$

Dove $N$ indica l'ordine del polo del denominatore.

per esempio, io ho fatto nello stesso semestre controlli automatici e metodi, per cui le tecniche di metodi mi erano sconosciute a controlli ed il prof ci faceva usatre la tecnica che si usa nell'integrazione delle funzioni razionali fratte. poi ovvio che col corso di metodi il tutto poteva risolversi in modo più semplice con quella formula famosa.

[parallel1]

Kroldar, grazie per la formula, ti chiedo un'ultima cosa. Ma la forma è sempre valida indipendentemente dal tipo di radici del denominatore ?

Hai centrato il problema nicasamarciano !

Grazie

[parallel1]

Kroldar mi potresti fare l'esempio di utilizzo della formula con i primi due termini, grazie

[Kroldar]

"parallel":Kroldar, grazie per la formula, ti chiedo un'ultima cosa. Ma la forma è sempre valida indipendentemente dal tipo di radici del denominatore ?
Grazie

Sempre valida, puoi usarla quando ti pare.

[_nicola de rosa]

"parallel":Kroldar mi potresti fare l'esempio di utilizzo della formula con i primi due termini, grazie

La formula è
$1/((N-1)!) lim_(stos_0) (d^(N-1))/(ds^(N-1)) [(s-s_0)^N* f(s)]$
Ora $B=lim_(s->0)s^2*f(s)=lim_(s->0)(s+5)/((s+1)(s+2)^2)=5/4$
$D=lim_(s->-2)(s+2)^2*f(s)=lim_(s->-2)(s+5)/((s+1)s^2)=-3/4$
$E=lim_(s->-1)(s+1)*f(s)=lim_(s->-1)(s+5)/(s^2(s+2)^2)=4$
$A=lim_(s->0)d/(ds)((s+5)/((s+1)(s+2)^2))=lim_(s->0)(-2(s^2+8s+9))/((s+1)^2*(s+2)^3)=-9/4$
$C=lim_(s->-2)d/(ds)((s+5)/((s+1)s^2))=lim_(s->-2)(-2(s^2+8s+5))/((s+1)^2*s^3)=-7/4$

[Kroldar]

"parallel":Kroldar mi potresti fare l'esempio di utilizzo della formula con i primi due termini, grazie

Ok vediamo di applicarla al tuo caso.

La funzione da decomporre è la seguente: $(s+5)/(s^2*(s+2)^2*(s+1))$

Dunque avremo una decomposizione del tipo: $A/s + B/s^2 + C/(s+2) + D/(s+2)^2 + E/(s+1)$

Vogliamo determinare le costanti. Notiamo che la funzione ha $3$ poli: $0$, $-2$ e $-1$, di cui i primi due sono poli doppi e il terzo è un polo semplice.

Riscrivo la formula da utilizzare, con una correzione per adattarla a tutti i coefficienti di Laurent ($n$ è, per dirla in breve,

l'esponente del denominatore di ogni fratto semplice): $1/((N-n)!) lim_(stos_0) (d^(N-n))/(ds^(N-n)) [(s-s_0)^N] f(s)$

Applichiamola per trovare $A$. Il denominatore di $A$ è del tipo $(s-s_0)^N$. Si vede subito che in questo caso $s_0 = 0$, $N=2$ e $n=1$

Risulta: $1/((2-1)!) lim_(sto0) (d^(2-1))/(ds^(2-1)) [(s-0)^2] f(s) = lim_(sto0) d/(ds) s^2 * (s+5)/(s^2*(s+2)^2*(s+1)) = lim_(sto0) d/(ds) (s+5)/((s+2)^2*(s+1)) = lim_(sto0) - 2(s^2+8s+9)/((s+1)^2 (s+2)^3) = -9/4$


Calcoliamo ora $B$. Allora $s_0 = 0$, $N=2$ e $n=2$.

Risulta: $1/((2-2)!) lim_(sto0) (d^(2-2))/(ds^(2-2)) [(s-0)^2] f(s) = lim_(sto0) (s+5)/((s+2)^2*(s+1)) = 5/4$


E così via...