Fratti Semplici

[Silente]

Per trasformare una frazione in una somma di frazioni più elementari leggo dal libro che come condizione necessaria il numeratore deve essere di grado minore del denominatore.
Perché?

Mi spiego con un esempio:

Devo trasformare questa espressione:
\(\displaystyle \frac{11-3x}{(x-1)(x+3)} \)

Allora impongo che:
\(\displaystyle \frac{11-3x}{(x-1)(x+3)}=\frac{A(x+3)+B(x-1)}{(x-1)(x+3)} \)

In modo da poter eguagliare i numeratori per poi ricavare i valori di A e di B e semplificare il tutto...
\(\displaystyle 11-3x=A(x+3)+B(x-1) \)
Assegno dei valori ad "x" in modo che uno alla volta, vengano annullati i fattori di A e di B, ottenendo i rispettivi valori.
Quindi...
\(\displaystyle x=1\Rightarrow A=2 \)
\(\displaystyle x=-3\Rightarrow B=-5 \)


Ottenendo infine:
\(\displaystyle \frac{11-3x}{(x-1)(x+3)}=\frac{2}{(x-1)}-\frac{5}{(x+3)} \)


Mi domando: perché lo stesso procedimento non può essere adottato quando il numeratore è di grado uguale o superiore al denominatore? L'uguaglianza tra i numeratori posso effettuarla comunque e posso comunque ricavarmi i valori di A e di B (come in questo caso).
Sbaglio?

[Quinzio]

Se hai $(N(x))/(D(x))$ dove $g(D(x))\ge g(N(x))$ con $g(Q(x))$ grado del polinomio, prima devi ridurre il polinomio in modo che $g(D(x))
Esempio:
ridurre in fratti semplici $(x^4)/((x-1)(x-2))=(x^4)/(x^2-3x+2)$

Primo passo:

$(x^4)/(x^2-3x+2)=$

$(x^2(x^2-3x+2))/(x^2-3x+2)-(x^2(-3x+2))/(x^2-3x+2)=$

$x^2-(-3x^3+2x^2)/(x^2-3x+2)$

e così abbiamo ridotto $g(N(x))$ da 4 a 3.

Si procede in modo simile (devi capire esattamente come) fino ad avere $g(D(x))

Cita

Segnala

[Noisemaker]

Consiedriamo una funzione razionale, cioè il rapporto tra due funzioni polinomiali nella variabile $x, N_m(x), D_n(x),$ dove $m,n$ rappresentano i gradi dei rispettivi polinomi, e consideriamone l'integrale:
\begin{align*}
\int \frac{N_m(x)}{D_n(x)}\,\,dx=\int \frac{a_0x^m+a_1x^{m-1}+a_2x^{m-2}+\cdots+ a_{m-1}x+a_m}{b_0x^n+b_1x^{n-1}+b_1x^{n-2}+\cdots+ b_{n-1}x+b_n}\,\,dx.
\end{align*}
Per cercare di scomporre tale rapporto in funzioni razionali più semplici da integrare, bisogna considerare i gradi dei due polinomi a numeratore e a denominatore: si possono presentare tre casi:

[*:suij04xu] $\deg N_m(x)>\deg D_n(x),$
ovvero se il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore, $m\ge n,$ si esegue la divisione secondo le regole dell'algebra tra i due polinomi $N_m(x)$ e $D_n(x):$ detto $Q(x)$ il quoziente della divisione e $R(x)$ il resto, si ha:
\begin{align*}
N_m(x) = Q(x)N(x)+R(x)\qquad\rightarrow\qquad \frac{N_m(x)}{D_n(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D_n(x)}
\end{align*}
da cui integrando si ottiene:
\begin{align*}
\int \frac{N_m(x)}{D_n(x)}\,\,dx = \int Q(x)dx +\int \frac{R(x)}{D_n(x)}\,\,dx
\end{align*}
Ad esempio, calcoliamo l'insieme delle primitive del seguente integrale, dove grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore; eseguiamo allora la divisione tra i due polinomi otteniamo:
\begin{align*}
\int \frac{x^3+3x^2}{x^2+1}\,\,dx &=\int x+3 \,\,dx-\int \frac{x+3}{x^2+1}\,\,dx =\frac{x^2}{2}+3x -\frac{1}{2}\int \frac{2x }{x^2+1}\,\,dx-\int \frac{3}{x^2+1}\,\,dx\\
&=\frac{x^2}{2}+3x -\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}-3\int \frac{5}{x^2+1}\,\,dx=\frac{x^2}{2}+3x -\frac{1}{2}\ln|x^2+1|-3\arctan x+c.
\end{align*}
L'esempio mette in evidenza il fatto che l'integrazione di una funzione razionale impropria (cioè con $m\ge n$) viene ricondotta all'integrazione di una funzione razionale intera e di una funzione razionale propria (cioè con $m

[*:suij04xu] $ \frac{A}{x-a}:$ in questo caso si ha $ \int \frac{A}{x-a} dx=A \int \frac{d(x -a)}{x-a}= \int \frac{A}{x-a} dx= A\ln|x-a|+c$
[/*:m:suij04xu]
[*:suij04xu] $ \frac{A}{(x-a)^n}:$ in questo caso si ha $ \int \frac{A}{(x-a)^n} dx=A \int (x-a)^{-n }d(x-a) =\frac{A}{1-n} (x-a)^{1-n }=\int \frac{A}{(x-a)^n} dx= \frac{A}{1-n} (x-a)^{1-n }+c$
[/*:m:suij04xu][/list:u:suij04xu]
[/*:m:suij04xu]
[*:suij04xu] $\deg N_m(x)=\deg D_n(x),$
ovvero se il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore, $m=n,$ non si segue una regola generale: le operazioni da eseguire dipendono dai polinomi in gioco; è comunque ancora possibile eseguire la divisione tra polinomi. Ad esempio, per calcolare l'insieme delle primitive del seguente integrale,
\begin{align*}
\int \frac{x}{ 2x-1}\,\,dx,
\end{align*}
si potrebbe procedere eseguendo la divisione tra i due polinomi; tuttavia si può osservare che:
\begin{align*}
\int \frac{x}{ 2x-1}\,\,dx&=\frac{1}{2} \int \frac{2x}{ 2x-1}\,\,dx =\frac{1}{2} \int \frac{2x-1+1}{ 2x-1}\,\,dx =\frac{1}{2} \int \frac{2x-1 }{ 2x-1}\,\,dx-\frac{1}{2} \int \frac{1}{ 2x-1}\,\,dx\\
&=\frac{1}{2} \int \,\,dx-\frac{1}{4} \int \frac{2}{ 2x-1}\,\,dx =\frac{1}{2}x-\frac{1}{4} \int \frac{d(2x-1)}{ 2x-1} =\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\ln|2x-1|+c.
\end{align*} [/*:m:suij04xu]
[*:suij04xu]$\deg N_m(x)<\deg D_n(x).$
Va anzitutto ricordato che il teorema fondamentale dell'algebra, afferma che un polinomio di grado $n$ ammette esattamente $n$ radici nel campo complesso; tale proprietà verrà sfruttata per decomporre il polinomino $D_n(x)$ in fattori irriducibili. Naturalmente le radici del polinomio $D_n(x)$ possono essere reali o complesse coniugate, con molteplicità maggiore o uguale ad uno. Si distinguiamo allora i vari casi :


[*:suij04xu]$ 1^\circ$ caso: Radici reali distinte :
Consideriamo la funzione razionale
\begin{align*}
\frac{N_m(x)}{D_n(x)}
\end{align*}
e supponiamo che l'equazione $D_n(x)=0$ abbia tutte le \small$n$ radici $x_1, x_2, ..., x_n$ reali e distinte, cioè sia:
\begin{align*}
D_n(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n);
\end{align*}
in questo caso si dimostra che è sempre possibile determinare in modo unico, $n$ costanti $A, B, ..., N$ in modo che valga l'identità :
\begin{align*}
\frac{N_m(x)}{D_n(x)}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}+\cdots+\frac{N}{x-x_n}.
\end{align*}
In base a questa scomposizione, l'integrale di tale funzione razionale si riduce alla somma di $n$ integrali del tipo:
\begin{align*}
\int \frac{N_m(x)}{D_n(x)}\,\,dx=\int \frac{A}{x-x_1}\,\,dx+\int \frac{B}{x-x_2}\,\,dx+\cdots+\int \frac{N}{x-x_n}\,\,dx
\end{align*}[/*:m:suij04xu]
[*:suij04xu] $ 2^\circ$ caso: Radici reali multiple
Supponiamo ora che l'equazione $D_n(x)=0$ non abbia tutte le radici reali e distinte, cioè supponiamo che l'equazione $D_n(x)=0,$ di grado $n$ ammetta le radici reali distinte $x_1, x_2, ..., x_n,$ la prima contata $r-$volte, la seconda $s-$volte ,... , l'ultima $t-$volte, con $r+s+...+t=n,$ cioè sia:
\begin{align*}
D_n(x)=(x-x_1)^{r}(x-x_2)^{s}\cdots (x-x_n)^{t};
\end{align*}
in questo caso si dimostra che vale la seguente scomposizione
\begin{align*}
\frac{N_m(x)}{D_n(x)}=\frac{A_1}{x-x_1}+\frac{A_2}{(x-x_1)^2}&+...+\frac{A_r}{(x-x_1)^r}+\frac{B_1}{x-x_2}+\frac{B_2}{(x-x_2)^2}+...+\frac{B_s}{(x-x_2)^s} \\
&+\frac{N_1}{x-x_n}+\frac{N_2}{(x-x_n)^2}+\cdots+\frac{N_t}{(x-x_n)^t},
\end{align*}
e qunque l'integrale si riduce alla somma di integrali del tipo:
\begin{align*}
\int \frac{A_1}{x-x_1}+ \frac{A_2}{(x-x_1)^2}&+...+ \frac{A_r}{(x-x_1)^r}+ \frac{B_1}{x-x_2}+ \frac{B_2}{(x-x_2)^2}+...+\ \frac{B_s}{(x-x_2)^s} \\
&+ \frac{N_1}{x-x_n}+ \frac{N_2}{(x-x_n)^2}+\cdots+ \frac{N_t}{(x-x_n)^t}\,\,dx.
\end{align*}[/*:m:suij04xu]
[*:suij04xu] $ 3^\circ$ caso: Radici complesse semplici
Supponiamo ora che l'equazione $D_n(x)=0$ ammetta radici complesse semplici; allora il delta sarà $\Delta<0,$ cioè $b^2-4ac<0.$ In questo caso si cerca completare il quadrato dell'equazione $D_n(x)=ax^2+bx+c$ in modo da ricondursi alla primitiva dell'arcotangente $1/1+x^2.$ Vediamo un esempio:
\begin{align*}
\int \frac{4x-1}{x^2-2x+3 }\,\,dx,
\end{align*}
l'equazione $x^2-2x+3=0$ non si annulla mai, infatti $\Delta=4-4\cdot3<0;$ completando il quadrato otteniamo $x^2-2x+3=x^2-2x+1+2=(x-1)^2+2,$ e l'integrale diviene:
\begin{align*}
\int \frac{4x-1}{x^2-2x+3 }\,\,dx&=\int \frac{4x }{x^2-2x+3 }-\frac{1 }{x^2-2x+3 }\,\,dx=2\int \frac{2x-2+2 }{x^2-2x+3 }-\frac{1 }{x^2-2x+3 }\,\,dx\\
&=2\int \frac{2x-2 }{x^2-2x+3 }\,\,dx+2\int \frac{ 2 }{x^2-2x+3 }\,\,dx-\int\frac{1 }{x^2-2x+3 }\,\,dx\\
&=2\int \frac{2x-2 }{x^2-2x+3 }\,\,dx+3\int \frac{ 1 }{x^2-2x+3 }\,\,dx \\
&=2\ln|x^2-2x+3|+\frac{3}{2}\int \frac{ 1 }{\left(\frac{x-1}{\sqrt2}\right)^2+1}\,\,dx\\
&=2\ln|x^2-2x+3|+\frac{3\sqrt2}{2}\int \frac{\frac{1}{\sqrt2} }{\left(\frac{x-1}{\sqrt2}\right)^2+1}\,\,dx \\
&=2\ln|x^2-2x+3|+\frac{3\sqrt2}{2}\arctan\frac{x-1}{\sqrt2}+c.
\end{align*}[/*:m:suij04xu]
[*:suij04xu] $ 4^\circ$ caso: Radici complesse multiple
Quando le radici complesse coniugate del denominatore sono multiple si deve ricorrere al caso generale attraverso la regola di Hermite; supponiamo che il denominatore sia del tipo:
\begin{align*}
D(x)= (x-x_1)^{r_1}\cdot(x-x_2)^{r_2}\cdot....\cdot(x-x_h)^{r_h}\cdot(x^2+p_1x+q_1 )^{s_1}\cdot...\cdot(x^2+p_1x+q_1 )^{s_k}
\end{align*}
dove $r_1+r_2+...+r_h+2s_1+2s_2+...+2s_k=n,$ con $n$ del grado del denominatore: allora vale la seguente scomposizione:
\begin{align*}
\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{A_1}{x-x_1}+...+\frac{A_h}{x-x_h}+\frac{B_1x+C_1}{x^2+p_1x+q_1}+...+\frac{B_kx+C_k}{x^2+p_kx+q_k}+\frac{d}{dx}\left( \frac{R(x)}{T(x)}\right),
\end{align*}
dove $R(x)$ è un generico polinomio di grado $n-r-2s;$ la regola per scrivere il termine dentro la derivata è in pratica la seguente:
al denominatore si mettono tutti i fattori di $D(x)$ con molteplicità scalata di uno (in questo modo le radici semplici non contribuiscono) mentre al numeratore si mette un generico polnomio con grado minore di uno rispetto al denominatore appena costruito. In ogni caso, dopo aver eseguito la derivata dell'ultimo pezzo, ci si ritrova con un sistema di $n$ equazioni in \small$n$ incognite. Vediamo un esempio: sia da calcolare l'insieme delle primitive di:
\begin{align*}
\int\frac{dx}{x^2(x^4+2x^2+1)};
\end{align*}
si nota che $D(x) = x^2(x^4 + 2x^2 + 1) = x^2(x^2 + 1)^2;$ impostando la formula di Hermite si ha:
\begin{align*}
\frac{1}{x^2(x^4+2x^2+1)}= \frac{A}{x}+ \frac{Bx+c}{ x^2 + 1}+\frac{d}{dx}\left( \frac{Dx^2+Ex+F}{x (x^2 + 1)}\right) ,
\end{align*}
dove a numeratore, dentro la derivata, abbiamo messo un generico polinomio di grado $2,$ visto che il denominatore viene di grado $3;$ svolgendo i calcoli, si ha:
\begin{align*}
\frac{A}{x}+ \frac{Bx+c}{ x^2 + 1}&+\frac{d}{dx}\left( \frac{Dx^2+Ex+F}{x (x^2 + 1)}\right)= \frac{A}{x}+ \frac{Bx+c}{ x^2 + 1}+ \frac{-Dx^4-2Ex^3+(D-3F)x^2-F}{x^2 (x^2 + 1)^2}\\
&= \frac{(A+B)x^5+(C-D)x^4+(2A+B-2E)x^3+(C+D-3F)x^2+Ax-F}{x^2 (x^2 + 1)^2}\\
&=\begin{cases}A+B&=0\\C-D&=0\\2A+B-2E&=0\\C+D-3F&=0\\A&=0\\-F&=1
\end{cases}=\begin{cases}A&=0\\B&=0\\C&=-3/2\\D&=-3/2\\E&=0\\ F&=-1
\end{cases},
\end{align*}
quindi:
\begin{align*}
\int \frac{1}{x^2(x^4+2x^2+1)}\,\,dx&=\int-\frac{3}{2(x^2+1)}-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\frac{3x^2+2}{ x(x^2+1)}\right)\,\,dx\\
&=-\frac{3}{2}\arctan x-\frac{3x^2+2}{ 2x(x^2+1)}+c.
\end{align*}
E' evidente che la formula porta a calcoli spesso assai complessi ma, in ogni caso risolve il problema. Spesso tramite opportuni raccoglimenti e completamenti di quadrati, ci siriduce a dover calcolare l'intergrle
\begin{align*}
\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^n}\,\,dx,
\end{align*}
che per mezzo di una integrazione per parti ricorsiva, risulta:
\begin{align*}
I_{n-1}&=\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}}\,\,dx= \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} -\int x d\left(\frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}}\right) \\
&= \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} -\int \frac{-2x^2({n-1})(1+x^2)^{n-2}\,\,dx}{\left(1+x^2\right)^{2n-2}} \\
&= \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} +2({n-1})\int \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^{ n }} \,\,dx \\
&= \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} +2({n-1})\int \frac{x^2+1}{\left(1+x^2\right)^{ n }} \,\,dx-2n\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{ n }} \,\,dx\\
& = \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} +2({n-1})\int \frac{ 1}{\left(1+x^2\right)^{ {n-1} }} \,\,dx-2({n-1})\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{ n }} \,\,dx\\
&=\frac{x}{\left(1+t^2\right)^ {n-1}} +2(n-1)\cdot I_{n-1}-2(n-1)\cdot I_{n },
\end{align*}
da cui la formula ricorsiva:
\begin{align*}
I_n&= \frac{x}{(2n-2)\left(1+x^2\right)^{n-1}} +\frac{2n-3}{2n-2}\cdot I_{n-1}.
\end{align*}
Così ad esempio, noto il fatto che $I_1 =\int \frac{1}{1+x^2} dt=\arctan x$
\begin{align*}
I_2&=\int \frac{1}{ (1+x^2)^2 }\,\,dx=\frac{x}{(4-2)\left(1+x^2\right)^{2-1}} +\frac{4-3}{4-2}\cdot I_{2-1}=\frac{x}{2\left(1+x^2\right) } +\frac{1}{ 2}\cdot I_{1}\\
&=\frac{x}{2\left(1+x^2\right) } +\frac{1}{ 2}\arctan x\\
I_3&=\int \frac{1}{ (1+x^2)^3 }\,\,dx=\frac{x}{(6-2)\left(1+t^2\right)^{3-1}} +\frac{6-3}{6-2}\cdot I_{3-1}=\frac{x}{4\left(1+x^2\right)^2 } +\frac{3}{ 4}\cdot I_{2}\\
&=\frac{x}{4\left(1+x^2\right)^2 }+\frac{3x}{8\left(1+x^2\right) } +\frac{3}{ 8}\arctan x.
\end{align*}[/*:m:suij04xu][/list:u:suij04xu][/*:m:suij04xu][/list:u:suij04xu]

[Quinzio]