[Fourier]Trasformata in L^1 nn L^2

[dissonance]

In un corso di Processi Stocastici che ho seguito si è fatto uso di questo risultato di Analisi:

se [tex]f \in L^1(\mathbb{R}^n) \cap L^2(\mathbb{R}^n)[/tex] allora [tex]\hat{f} \in L^1(\mathbb{R}^n)[/tex].

Che dite, come si può dimostrare...?

[Rigel1]

Mi sembra falso (ma controlla).

Se prendi $f(x) = e^{-x} H(x)$, con $H$ funzione di Heaviside, hai che $\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} (1+i\omega)}$.

[dissonance]

Eh si mi ritrovo con i tuoi calcoli, che ho controllato anche con Maple. Lo dovrò fare presente al professore, appena riesco a parlarci con un po' di calma. Grazie Rigel!

[gugo82]

Ma non è che s'è sbagliato a scrivere e voleva scrivere [tex]$\hat{f} \in L^2(\mathbb{R}^n)$[/tex] (cfr. Rudin, Real and Complex Analysis, 9.13)?

[Rigel1]

E' quello che ho pensato anche io; in genere il caso $f\in L^1\cap L^2$ viene trattato quando si affronta il teorema di Plancherel.

[dissonance]

No, no ragazzi, ho cercato di ricostruire un po' la vicenda e sono arrivato alla conclusione che si tratta proprio di una piccola svista del professore. Essenzialmente a lui serve un sottoinsieme denso \(D\subset L^1(\mathbb{R})\) tale che \(\forall f \in D\) si possa applicare il teorema di inversione:

\[\hat{f} \in L^1(\mathbb{R}),\ f(x)=(2\pi)^{-1/2}\int_{\mathbb{R}}\hat{f}(y)e^{i xy}\, dy.\]

La scelta più naturale è \(D=\mathcal{S}(\mathbb{R})\), direi: siete d'accordo? Probabilmente il professore avrà cercato una alternativa per evitare di introdurre lo spazio di Schwartz (eh si - al primo anno di magistrale non tutti gli studenti lo conoscono) e avrà erroneamente ripiegato su \(L^1 \cap L^2\).