Fourier e convergenza
Data la serie $ sum_(k =1-> +oo) 1/k^2 cos(kx) $ dire se essa:
1)Converge totalmente
2)Rappresenta lo sviluppo in serie di Fourier relativo alla funzione, pari, periodica di periodo $ T=2pi $ definita da
$ f(x)={ ( |x|rarr x in (-pi/2,pi/2) ),( 0rarr x in [-pi,-pi/2]uu[pi/2,pi) ):} $
1)Per quanto riguarda la prima richiesta in quanto $ f_k(x)=1/k^2cos(kx)<= 1/k^2 $ allora la serie converge totalmente.
2)Per quanto riguarda la seconda richiesta invece, sul mio libro c'è questo teorema:
Sia $ Esube RR $ e sia $ f_k $ una successione di funzioni continue da $ E $ in $ RR $ che converge uniformemente ad $ f $ in $ E $. Allora $ f $ è continua in $ E $.
In questo teorema io ho capito che Se $ f_k $ converge totalmente e quindi anche uniformemente $ rArr $ $f $ è continua. Utilizzando questo teorema al contrario, io so che la mia f è discontinua come si puo vedere dal suo grafico e quindi la serie associata non dovrebbe convergere giusto? quindi la serie datami nell'esercizio in quanto converge non può rappresentare laserie di Fourier associata alla mia funzione. Correggetemi se sbaglio e grazie mille in anticipo
1)Converge totalmente
2)Rappresenta lo sviluppo in serie di Fourier relativo alla funzione, pari, periodica di periodo $ T=2pi $ definita da
$ f(x)={ ( |x|rarr x in (-pi/2,pi/2) ),( 0rarr x in [-pi,-pi/2]uu[pi/2,pi) ):} $
1)Per quanto riguarda la prima richiesta in quanto $ f_k(x)=1/k^2cos(kx)<= 1/k^2 $ allora la serie converge totalmente.
2)Per quanto riguarda la seconda richiesta invece, sul mio libro c'è questo teorema:
Sia $ Esube RR $ e sia $ f_k $ una successione di funzioni continue da $ E $ in $ RR $ che converge uniformemente ad $ f $ in $ E $. Allora $ f $ è continua in $ E $.
In questo teorema io ho capito che Se $ f_k $ converge totalmente e quindi anche uniformemente $ rArr $ $f $ è continua. Utilizzando questo teorema al contrario, io so che la mia f è discontinua come si puo vedere dal suo grafico e quindi la serie associata non dovrebbe convergere giusto? quindi la serie datami nell'esercizio in quanto converge non può rappresentare laserie di Fourier associata alla mia funzione. Correggetemi se sbaglio e grazie mille in anticipo
Risposte
Guarda che il punto 2) ti chiede di sviluppare in serie la funzione $f$, mica di verificare che la serie in 1) sia il suo sviluppo.
"Davidemas":
1)Per quanto riguarda la prima richiesta in quanto $ f_k(x)=1/k^2cos(kx)<= 1/k^2 $ allora la serie converge totalmente.
Ti scordi sempre il valore assoluto.
"dissonance:
Ti scordi sempre il valore assoluto.
questa discussione l'ho aperta per sbaglio in quanto pensavo di non avere creato l 'altro argomento scusami.
"ciampax":
Guarda che il punto 2) ti chiede di sviluppare in serie la funzione $ f $, mica di verificare che la serie in 1) sia il suo sviluppo.
ciampax scusa se ti correggo ma il punto 2 mi dice: data la serie....dire se essa rappresenta...comunque grazie in anticipo
Tu prima hai scritto questo:
Rappresenta lo sviluppo in serie di Fourier relativo alla funzione, pari, periodica di periodo T=2π definita da
che vuol dire: prendi la funzione $f$ qua sotto e scrivine lo sviluppo di Fourier. Se sbagli a scrivere la traccia non è colpa mia. In ogni caso, se invece il testo richiede di verificare se tale serie può rappresentare quella funzione, la risposta è no e mi pare che il ragionamento che fai non sia male.
Rappresenta lo sviluppo in serie di Fourier relativo alla funzione, pari, periodica di periodo T=2π definita da
che vuol dire: prendi la funzione $f$ qua sotto e scrivine lo sviluppo di Fourier. Se sbagli a scrivere la traccia non è colpa mia. In ogni caso, se invece il testo richiede di verificare se tale serie può rappresentare quella funzione, la risposta è no e mi pare che il ragionamento che fai non sia male.
Si ciampax scusami per l'errore fatto nella trascrizione della traccia. Ad ogni modo quindi il teorema da me sopra scritto è stato ben utilizzato per la risposta della seconda richiesta? grazie.
"Davidemas":
teorema:
Sia $ Esube RR $ e sia $ f_k $ una successione di funzioni continue da $ E $ in $ RR $ che converge uniformemente ad $ f $ in $ E $. Allora $ f $ è continua in $ E $.
Bé, se prendi la contronominale di quel teorema ottieni che
se $f$ non è continua, p le $f_k$ non sono continue o non convergono uniformemente a $f$
per cui....
se $f$ non è continua, p le $f_k$ non sono continue o non convergono uniformemente a $f$
per cui....
Perfetto. Grazie. 
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