Fourier e Convergenza
Salve a tutti volevo chiedervi dei chiarimenti su un esercizio sulle serie di Fourier.
L'esercizio è questo:
Data in $ R $ la funzione $ 2pi $ periodica individuata in $ (-pi,pi] $ da $ f(x)={ ( -x^2 rarr x in (-pi,0] ),( 0 rarr x in (0,pi] ):} $ si determini la serie di Fourier ad essa associata. Nell' intervallo $ [-pi,pi] $ la convergenza è uniforme? E in $ R $ ?
Io ho determinato la serie di Fourier che è questa $ S(x)=(-pi^2/6)+sum_(k =1 tooo) (-2/k^2)(-1)^k*cos(kx) + ((2-pi^2k^2)(-1)^k-2)/(pik^3)sin(kx) $ e ho controllato graficamente che è giusta. Tuttavia non riesco a vedere se la serie converge uniformemente. Ho pensato di vedere se la serie converge totalmente e quindi anche uniformemente ma non riesco a risolvere il problema. Qualcuno mi può aiutare? grazie in anticipo
L'esercizio è questo:
Data in $ R $ la funzione $ 2pi $ periodica individuata in $ (-pi,pi] $ da $ f(x)={ ( -x^2 rarr x in (-pi,0] ),( 0 rarr x in (0,pi] ):} $ si determini la serie di Fourier ad essa associata. Nell' intervallo $ [-pi,pi] $ la convergenza è uniforme? E in $ R $ ?
Io ho determinato la serie di Fourier che è questa $ S(x)=(-pi^2/6)+sum_(k =1 tooo) (-2/k^2)(-1)^k*cos(kx) + ((2-pi^2k^2)(-1)^k-2)/(pik^3)sin(kx) $ e ho controllato graficamente che è giusta. Tuttavia non riesco a vedere se la serie converge uniformemente. Ho pensato di vedere se la serie converge totalmente e quindi anche uniformemente ma non riesco a risolvere il problema. Qualcuno mi può aiutare? grazie in anticipo
Risposte
Intanto, tu subito puoi capire che la convergenza uniforme ti darà problemi. La funzione data è continua? I termini di una serie di Fourier sono funzioni continue, seni e coseni. E allora, la convergenza può essere uniforme su tutto \(\mathbb{R}\)?
Dopodiché dipende da quanta teoria hai studiato. C'è tutto un patrimonio di teoremi sulla convergenza delle serie di Fourier, se ne hai visto qualcuno potresti usarlo per risparmiarti del lavoro.
Dopodiché dipende da quanta teoria hai studiato. C'è tutto un patrimonio di teoremi sulla convergenza delle serie di Fourier, se ne hai visto qualcuno potresti usarlo per risparmiarti del lavoro.
Ho rivisto alcune cose e sono riuscito ad affermare che la serie non converge totalmente tuttavia cio non mi aiuta sulla convergenza uniforme.
Ho trovato pero un teorema che sembra faccia al caso mio correggimi se sbaglio.
Sia $ Esub RR $ e sia $ f_n(x) $ una successione di funzioni continue da $ E $ in $ RR $ che converge uniformemente ad $ f $ in $ E $ . Allora f è continua in $ E $ .
Da questo teorema posso affermare in quanto la mia funzione è discontinua che la mia successione non converge uniformemente in E tantomeno in R dato che E è contenuto in R giusto?
Ho trovato pero un teorema che sembra faccia al caso mio correggimi se sbaglio.
Sia $ Esub RR $ e sia $ f_n(x) $ una successione di funzioni continue da $ E $ in $ RR $ che converge uniformemente ad $ f $ in $ E $ . Allora f è continua in $ E $ .
Da questo teorema posso affermare in quanto la mia funzione è discontinua che la mia successione non converge uniformemente in E tantomeno in R dato che E è contenuto in R giusto?
Chi è \(E\)? (Anticipo delle informazioni visto che non so se potrò connettermi ancora: la tua idea è giusta, ma ti risolve il problema solo per il caso di \(\mathbb{R}\). Per analizzare la convergenza su \([-\pi, \pi]\) ti tocca sudare di più)
Si avevo pensato che mi risolvesse la cosa solo in $ RR $ in quanto la funzione è discontinua in $ RR $ e non in $ [-pi,pi] $ ma scusami la domanda diretta...in che modo dovrei sudare di più per verificare o meno la convergenza uniforme?
Ciao
Dipende da quanta teoria sai e da che tipo di teoria conosci. Conosci il fenomeno di Gibbs? E' quello che accade con questa funzione (un ingegnere penso preferisca chiamarla segnale). La funzione presenta una discontinuità di salto nei punti \(\pi + 2k\pi,\ k\in \mathbb{Z}\), perciò attorno a quei punti le somme parziali della serie di Fourier presentano delle
distorsioni che impediscono la convergenza uniforme. Se sei in grado di giustificare questo hai concluso l'esercizio.
L'esercizio non te lo chiede, ma è interessante studiare meglio la convergenza di questa serie di Fourier. Nell'interno dell'intervallo la funzione è di classe \(C^1\), ha cioè un grafico sufficientemente liscio e quindi in qualsiasi intervallo compatto \([a, b]\) contenuto in \((-\pi, \pi)\) la convergenza è uniforme. Questo mi pare si chiami criterio di Dini o qualcosa del genere. In sostanza, se resti lontano dai punti di discontinuità hai convergenza uniforme, perché il fenomeno di Gibbs tende a localizzarsi intorno ai punti singolari.
In conclusione l'esercizio si può risolvere così, senza fare conti ma soltanto applicando con cura i teoremi giusti, ma bisogna vedere quali conosci e in che forma li conosci.
Dipende da quanta teoria sai e da che tipo di teoria conosci. Conosci il fenomeno di Gibbs? E' quello che accade con questa funzione (un ingegnere penso preferisca chiamarla segnale). La funzione presenta una discontinuità di salto nei punti \(\pi + 2k\pi,\ k\in \mathbb{Z}\), perciò attorno a quei punti le somme parziali della serie di Fourier presentano delle
distorsioni che impediscono la convergenza uniforme. Se sei in grado di giustificare questo hai concluso l'esercizio.
L'esercizio non te lo chiede, ma è interessante studiare meglio la convergenza di questa serie di Fourier. Nell'interno dell'intervallo la funzione è di classe \(C^1\), ha cioè un grafico sufficientemente liscio e quindi in qualsiasi intervallo compatto \([a, b]\) contenuto in \((-\pi, \pi)\) la convergenza è uniforme. Questo mi pare si chiami criterio di Dini o qualcosa del genere. In sostanza, se resti lontano dai punti di discontinuità hai convergenza uniforme, perché il fenomeno di Gibbs tende a localizzarsi intorno ai punti singolari.
In conclusione l'esercizio si può risolvere così, senza fare conti ma soltanto applicando con cura i teoremi giusti, ma bisogna vedere quali conosci e in che forma li conosci.
Ok perfetto ho risolto. Grazie mille per l'aiuto
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