Fourier dal punto di vista dell'algebra lin.

[puretone]

Ciao!
Volevo capire che forma ha operatore lineare serie di Fourier $sum_N c_k e^(ikx)$. Non so se sbaglio, nel caso del sistema trigonometrico in forma complessa la immagino che sia una matrice infinito dimensionale con sulla diagonale rispettivamente $1,e^(ix),e^(i2x),e^(i3x),.........$ moltiplicata per un vettore di coefficienti che ne pesa la distribuzione.

Vorrei cercare di capire un pò come funziona la serie di fourier da un punto di vista matriciale.

(Fra l'altro, quale testo vi sentite di consigliarmi per studiare concetti dell'analisi di fourier attraverso l'algebra lineare?)

[gugo82]

Chiariamo una cosa... Parlare di "matrici infinite" non ha grande senso nella pratica, anche se questa terminologia è andata di moda per diversi anni (all'inizio della formalizzazione dell'Analisi Funzionale).

Inoltre, la tua interpretazione sarebbe comunque errata.
Pensa al problema dello sviluppo in serie di Fourier come all'espressione in coordinate di un vettore rispetto ad una base nel senso dell'Algebra Lineare (non è proprio la stessa cosa, anzi non lo è affatto... Ma l'analogia funziona per mostrarti l'errore).
Quando scrivi \(\mathbf{v}\in \mathbb{V}\) come \(\sum_{k=1}^N a_k\ \mathbf{e}^k\) (sto supponendo che \(\dim \mathbb{V} =N\) sul campo degli scalari complessi), mica metti in una matrice i vettori di base \(\mathbf{e}^1,\ldots ,\mathbf{e}^N\), no?!?
Ciò che fai è creare un vettore numerico \((a_1,\ldots ,a_N)\) ed istituire l'applicazione:
\[
\mathbb{V}\ni \mathbf{v} = \sum_{k=1}^N a_k\ \mathbf{e}^k\mapsto R\mathbf{v}:=\mathbf{a}=(a_1,\ldots ,a_N)\in \mathbb{C}^N
\]
(chiamata, di solito, coordinazione di \(\mathbb{V}\) sulla base \(\{\mathbf{e}^1,\ldots ,\mathbf{e}^N\}\)), che non ha una rappresentazione matriciale sensata. Tuttavia, essa ti consente di scrivere ogni applicazione lineare \(\mathcal{M} : \mathbb{V} \to \mathbb{V}\) come un operatore matriciale tra \(\mathbb{C}^N\) e \(\mathbb{C}^N\); infatti, per un noto teorema, esiste un'unica matrice \(M\) di ordine \(N\) su \(\mathbb{C}\) tale che:
\[
R(\mathcal{M}\mathbf{v}) = M\cdot R\mathbf{v}\; ,
\]
la quale è completamente determinata dai valori che \(\mathcal{M}\) assume sulla base fissata in \(\mathbb{V}\); quindi ti puoi "consentire il lusso" di identificare \(\mathcal{M}\) con l'applicazione numerica \(\mathbb{C}^N\ni \mathbf{a}\mapsto M\cdot \mathbf{a}\in \mathbb{C}^N\) (che opera mediante un prodotto matrice/vettore).

Nel caso delle serie di Fourier stai (molto alla buona) facendo la stessa cosa.
Fissata la base hilbertiana[nota]Attenzione, però: questa non è una base nel senso dell'Algebra Lineare![/nota] \(\{e^{\imath\ kx},\ k\in \mathbb{Z}\}\) dello spazio vettoriale infinito-dimensionale \(L^2(0,2\pi)\) (classe delle applicazioni complesse di variabile reale, misurabili ed a quadrato sommabile su \((0,2\pi)\)) e stai istituendo l'applicazione[nota]Ricorda che per il teorema di Fischer-Riesz, comunque fissi una \(f\in L^2(0,2\pi)\), la successione dei coefficienti di Fourier di \(f\) è una successione bilatera a quadrato sommabile, cioé è una successione di \(\ell^2(\mathbb{Z})\).[/nota]:
\[
L^2(\mathbb{R})\ni f(x):=\sum_{k=-\infty}^\infty f_k\ e^{\imath\ kx}\mapsto Rf:=\mathbf{f}=(\ldots, f_{-n},\ldots ,f_{-1},f_0,f_1,\ldots ,f_n,\ldots)\in \ell^2(\mathbb{Z})\; .
\]
Questa applicazione non ha una rappresentazione matriciale sensata (proprio come prima), però ti può tornare utile per identificare operatori lineari continui \(\mathcal{M}:L^2(0,2\pi)\to L^2(0,2\pi)\) con operatori dello stesso tipo definiti sullo spazio \(\ell^2(\mathbb{Z})\) (che è uno spazio di successioni, perciò è più "maneggevole"): infatti, come sopra, esiste un'unico operatore \(M:\ell^2 (\mathbb{Z})\to \ell^2(\mathbb{Z})\) tale che:
\[
R(\mathcal{M}f) = M(Rf)\text{ [}=M(\mathbf{f})\text{]}\; ,
\]
il quale è completamente determinato dai valori che \(\mathcal{M}\) assume sulla base trigonometrica di \(L^2(0,2\pi)\).

Ad esempio, considera l'operatore definito mediante la seguente costruzione: chiama \(f^*\) il prolungamento periodico di periodo \(2\pi\) di \(f\) a tutto \(\mathbb{R}\), di modo che:
\[
f^*(x) = f(x-2n\pi) \qquad \text{, se } 2n\pi \leq x<2(n+1)\pi \text{ per un certo } n \in \mathbb{Z}\; ,
\]
e, fissato un \(\mu \in \mathbb{R}\), poni:
\[
\mathcal{M}f (x) := f^*(x+\mu) \qquad \text{per } x\in (0,2\pi)
\]
(cioé \(\mathcal{M}f\) è la restrizione a \((0,2\pi)\) della \(\mu\)-traslata di \(f^*\))[nota]Ad esempio, prendi \(f(x):=x+\imath\ \sin x\), che è in \(L^2(0,2\pi)\).
La \(f^*\) ha per parte reale il prolungamento di \(x\) a tutto \(\mathbb{R}\) di periodo \(2\pi\) e per coefficiente dell'immaginario la funzione \(\sin x\) (la quale, per periodicità, coincide con se stessa quando la si prolunga a tutto \(\mathbb{R}\) con periodo \(2\pi\)); quindi:
\[
f^*(x) := \sum_{n=-\infty}^\infty (x-2n\pi)\ \chi_{[2n\pi, 2(n+1)\pi[}(x) + \imath\ \sin x\; ,
\]
in cui \(\chi_{[2n\pi, 2(n+1)\pi[}(x)\) denota la funzione caratteristica dell'intervallo \([2n\pi, 2(n+1)\pi[\).
Dunque fissato, e.g., \(\mu =1/2\), si ha:
\[
\mathcal{M}f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty (x+\tfrac{1}{2}-2n\pi)\ \chi_{[2n\pi, 2(n+1)\pi[}(x+\tfrac{1}{2}) + \imath\ \sin (x+\tfrac{1}{2})
\]
per \(x\in (0,2\pi)\).[/nota].
Per determinare \(M\), l'operatore di \(\ell^2(\mathbb{Z})\) in sé associato a \(\mathcal{M}\), basta fare due conti: dato che vuoi:
\[
M(\mathbf{f}) = R(\mathcal{M}f)
\]
ci basta calcolare esplicitamente \(R(\mathcal{M}f)\), cioé dobbiamo calcolare per ogni \(k\in \mathbb{Z}\) il coefficiente di Fourier di \((0,2\pi)\ni x\mapsto f^*(x +\mu)\); per periodicità di \(f^*\) e degli esponenziali (tutte funzioni \(2\pi\)-periodiche) e per definizione di \(f^*\), abbiamo:
\[
\begin{split}
\frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} f^*(x+\mu)\ e^{-\imath\ kx}\ \text{d} x &\stackrel{t=x+\mu}{=} \frac{1}{2\pi}\ \int_\mu^{2\pi +\mu} f^*(t)\ e^{-\imath\ k(t-\mu)}\ \text{d} t\\
&=\frac{1}{2\pi}\ e^{\imath\ k\mu}\ \int_\mu^{2\pi} f^*(t)\ e^{-\imath\ kt}\ \text{d} t +\frac{1}{2\pi}\ e^{-\imath\ k\mu}\ \int_{2\pi}^{2\pi +\mu} f^*(t)\ e^{-\imath\ kt}\ \text{d} t\\
&=\frac{1}{2\pi}\ e^{\imath\ k\mu}\ \int_\mu^{2\pi} f^*(t)\ e^{-\imath\ kt}\ \text{d} t +\frac{1}{2\pi}\ e^{\imath\ k\mu}\ \int_0^\mu f^*(t)\ e^{-\imath\ kt}\ \text{d} t\\
&=\frac{1}{2\pi}\ e^{\imath\ k\mu}\ \int_0^{2\pi} f^*(t)\ e^{-\imath\ kt}\ \text{d} t\\
&= e^{\imath\ k\mu}\ \frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} f(t)\ e^{-\imath\ kt}\ \text{d} t\\
&= e^{\imath\ k\mu}\ f_k
\end{split}
\]
cosicché:
\[
R(\mathcal{M}f) = \left( \ldots, e^{-\imath\ n\mu} f_{-n},\ldots , e^{-\imath\ 2\mu} f_{-2} ,e^{-\imath\ \mu} f_1, f_0, e^{\imath\ \mu} f_1, e^{\imath\ 2\mu} f_2,\ldots , e^{\imath\ n\mu} f_n,\ldots \right)\; ;
\]
da ciò segue che:
\[
M\mathbf{f} = \left( \ldots, e^{-\imath\ n\mu} f_{-n},\ldots , e^{-\imath\ 2\mu} f_{-2} ,e^{-\imath\ \mu} f_1, f_0, e^{\imath\ \mu} f_1, e^{\imath\ 2\mu} f_2,\ldots , e^{\imath\ n\mu} f_n,\ldots \right)\; .
\]
Usando una notazione agée (ed orrenda!), l'operatore \(M\) di cui sopra si può interpretare come operatore matriciale associato alla matrice diagonale "doppiamente infinita":
\[
\begin{pmatrix}
\ddots &\ddots &\ddots & & & & & & & & & &\\
& 0 & e^{-\imath\ n\mu} & 0 & & & & & & & & &\\
& &\ddots & \ddots &\ddots & & & & & & & &\\
& & & 0 & e^{-\imath\ 2\mu} & 0 & & & & & & &\\
& & & & 0 & e^{-\imath\ \mu} & 0 & & & & & &\\
& & & & & 0 & 1 & 0 & & & & &\\
& & & & & & 0 & e^{\imath\ \mu} & 0 & & & &\\
& & & & & & & 0 & e^{\imath\ 2\mu} & 0 & & &\\
& & & & & & & & \ddots &\ddots & \ddots & &\\
& & & & & & & & & 0 & e^{\imath\ n\mu} & 0 &\\
& & & & & & & & & & \ddots & \ddots &\ddots
\end{pmatrix}
\]
e così si vede subito che \(M\) è completamente determinato dai valori \(\mathcal{M}e^{\imath\ nx}\), poiché:
\[
\mathcal{M}e^{\imath\ nx} = e^{\imath\ n\mu}\ e^{\imath\ nx}\quad \Rightarrow \quad R\left( \mathcal{M}e^{\imath\ nx} \right) = (e^{\imath\ n\mu}\delta_k^n)
\]
in cui \(\delta_k^n\) è di Kronecker, ed \(e^{\imath\ n\mu}\) è proprio il termine diagonale della "matriciona" che identifica \(M\) corrispondente al vettore di base \(e^{\imath\ nx}\).