Fourier
Calcolare la trasformata di Fourier di $f(t)=t/(9+t^2)^2$,indi determinare i coefficienti della serie di Fourier della replica periodica:
$x_T(t)=sum_(k=-oo)^(+oo)x(t-kT),kinRR_0^+
$x_T(t)=sum_(k=-oo)^(+oo)x(t-kT),kinRR_0^+
Risposte
Questa trasformata è tremendamente noiosa. Se sei arrivato già da qualche parte posta i tuoi conti e ti dico come continuare.
$f(omega)=int_(-oo)^(+oo)t/(9+t^2)^2e^(-iomegat)dt
$Res(e^(-iomegaz)*f(z),3i)=lim_(zto3i)d/(dz)(z*e^(-iomegaz))/(z+3i)^2=((e^(-iomegaz)-iomegaz*e^(-iomegaz))*(z+3i)-2z*e^(-iomegaz)*(z+3i))/(z+3i)^4=
$=ie^(3omega)(7+3omega)/216
per cui $f(omega)=2pii*ie^(3omega)(7+3omega)/216=-pi*e^(3omega)*(7+3omega)/108
$Res(e^(-iomegaz)*f(z),3i)=lim_(zto3i)d/(dz)(z*e^(-iomegaz))/(z+3i)^2=((e^(-iomegaz)-iomegaz*e^(-iomegaz))*(z+3i)-2z*e^(-iomegaz)*(z+3i))/(z+3i)^4=
$=ie^(3omega)(7+3omega)/216
per cui $f(omega)=2pii*ie^(3omega)(7+3omega)/216=-pi*e^(3omega)*(7+3omega)/108
Uhm a dire il vero avevo pensato di partire dalla trasformata nota di $1/(1+t^2)$ e applicare qualche formula.
Cmq il tuo risultato non può essere esatto, perché la funzione da trasformare è reale e dispari e quindi la sua trasformata dovrebbe essere puramente immaginaria.
Cmq il tuo risultato non può essere esatto, perché la funzione da trasformare è reale e dispari e quindi la sua trasformata dovrebbe essere puramente immaginaria.
"Kroldar":
Uhm a dire il vero avevo pensato di partire dalla trasformata nota di $1/(1+t^2)$ e applicare qualche formula.
Cmq il tuo risultato non può essere esatto, perché la funzione da trasformare è reale e dispari e quindi la sua trasformata dovrebbe essere puramente immaginaria.
già
Purtroppo non capisco dove sbaglio nell'integrale...se puoi dare un'occhiata..
Forse sbaglio a derivare?! 
Un piccolo errore nella derivata c'è, ma non credo sia solo quello. Il fatto è che a occhio secondo me dovrebbe uscire un modulo all'esponente di $e$ che invece non c'è.
Ecco perché!!! Rivediti le ipotesi sotto cui si può applicare il lemma di Jordan 
"Kroldar":
Ecco perché!!! Rivediti le ipotesi sotto cui si può applicare il lemma di Jordan
devo moltiplicare per $e^(imz),m inRR^+$ la funzione da integrare?
l'ipotesi $lim_(ztoinfty)f(z)=0$ mi sembra rispettata
C'è un'altra ipotesi sull'esponente di $e$. Ricordi?
"Kroldar":
Un piccolo errore nella derivata c'è, ma non credo sia solo quello. Il fatto è che a occhio secondo me dovrebbe uscire un modulo all'esponente di $e$ che invece non c'è.
Ricontrollando la derivata e calcolando il limite mi viene:
$"derivata"=((e^(-iomegaz)-iomegaz*e^(-iomegaz))*(z+3i)^2-2z*e^(-iomegaz)*(z+3i))/(z+3i)^4=
$=((z+3i)*(e^(-iomegaz)-iomegaz*e^(-iomegaz))-2z*e^(-iomegaz))/(z+3i)^3=
$=..=-1/12*e^(3omega)
per cui $f(omega)=2pii*-1/12e^(3omega)=-pii/6*e^(3pi)
"Kroldar":
C'è un'altra ipotesi sull'esponente di $e$. Ricordi?
Non mi pare ci siano altre ipotesi...boh
Una volta calcolata (spero di averla calcolata correttamente) la trasformata che si fa?
x calcolare i coefficienti della serie potresti usare la prima formula di poisson,è il metodo più veloce visto che hai già la trasformata.
"faco":
x calcolare i coefficienti della serie potresti usare la prima formula di poisson,è il metodo più veloce visto che hai già la trasformata.
Intendi questa?
$x_T(t)=sum_(n=-oo)^(+oo)c_k*e^(2pi ikf_0t)$?
e come la useresti?
Ho capito;viene:
$x_T(t)=1/T*sum_(k=-oo)^(+oo)-pi/6*i*e^((3k)/T)*e^((2piikt)/T)
grazie
$x_T(t)=1/T*sum_(k=-oo)^(+oo)-pi/6*i*e^((3k)/T)*e^((2piikt)/T)
grazie
Naturalmente ho dimenticato di trasformare la trasformata in lineare;dopo si può applicare la formula di Poisson
Il lemma di Jordan si applica in modo diverso a seconda del segno del fattore che moltiplica l'incognita all'esponente di $e$.
Quindi devi distinguere i due casi $omega > 0$ e $omega < 0$. Così facendo avrai due espressioni distinte, che potrai sintetizzare in un'unica scrittura introducendo un modulo, che è proprio quello che mi aspettavo che uscisse da questo tipo di trasformata.
Quindi devi distinguere i due casi $omega > 0$ e $omega < 0$. Così facendo avrai due espressioni distinte, che potrai sintetizzare in un'unica scrittura introducendo un modulo, che è proprio quello che mi aspettavo che uscisse da questo tipo di trasformata.
"Kroldar":
Il lemma di Jordan si applica in modo diverso a seconda del segno del fattore che moltiplica l'incognita all'esponente di $e$.
Quindi devi distinguere i due casi $omega > 0$ e $omega < 0$. Così facendo avrai due espressioni distinte, che potrai sintetizzare in un'unica scrittura introducendo un modulo, che è proprio quello che mi aspettavo che uscisse da questo tipo di trasformata.
Ok.grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo