Fornire una prova per...

[dodgeb]

Fornire una prova per: "se x+y>=2, con x e y numeri reali, allora x>=1 oppure y>=1"

Salve!
Mi sono imbattuto in questo esercizio ma non riesco a capire come possa essere risolto. Qualcuno può darmi una mano?

[Anthrax606]

Non sono un ragazzo universitario, ma credo fermamente di essere arrivato alla soluzione con un po' di intuito.

[math]\left(\neg{x}≥1∨\neg{y}≥1\right) \to [x,y]\in \mathbb{R}[/math]

.


Da tale affermazione, possiamo ricavare che:

[math]\left(\neg{x}+\neg{y}≥2\right)[/math]

.


Logicamente, considerando la prima scrittura, possiamo verificare che:

[math]\left(\neg{x}≥1∨\neg{y}≥1\right)\\
\Rightarrow x

[ciampax]

Secondo me sarebbe stato più semplice analizzare la cosa geometricamente: la disequazione

[math]x+y\ge 2[/math]

, rappresenta, nel piano cartesiano, il semipiano superiore alla retta di equazione

[math]y\ge 2-x[/math]

. Se ora tracciamo anche le rette x=1, y=1 e prendiamo il semipiano destro rispetto alla prima e quello superiore rispetto alla seconda, vediamo che il semipiano di partenza contiene, alternativamente, uno dei due semipiani qui descritti, pertanto la relazione è vera.

Anthrax, sinceramente non ho capito come usi la legge contronominale: al più avresti dovuto provare che

Se x

[Anthrax606]

Probabilmente avrei dovuto scrivere la legge contronominale in questo modo:

[math]¬(x≥1∨y≥1) \Rightarrow ¬(x+y≥2)[/math]

, ossia, posizionare il simbolo di negazione logica prima della parentesi. In questo modo, si otterrebbe anche:

[math]¬(x≥1∨y≥1)[/math]

.