Formule trigonometriche

[bartofra]

Ciao a tutti e scusate se faccio una domanda diretta, ma non so da dove cominciare.

Qualcuno puo' darmi una dritta per spiegare le seguenti formule?


$\sum_{n=0}^(N-1)cos(n*2*∆)=(sin(N*∆)/sin(∆))*cos(N-1) * ∆$
$\sum_{n=0}^(N-1)sin(n*2*∆)=(sin(N*∆)/sin(∆))*sin(N-1) * ∆$



Grazie!

[Quinzio]

Quelle non mi sembrano formule esatte, ma delle approssimazioni per $\Delta$ piccoli.

[gugo82]

Ad esempio, per la formula di Eulero hai:
\[
\cos (2n\Delta) +\imath\ \sin (2n\Delta) = e^{\imath\ 2n\Delta}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\sum_{n=0}^{N-1} \cos (2n\Delta) +\imath\ \sum_{n=0}^{N-1} \sin (2n\Delta) &= \sum_{n=0}^{N-1} \cos (2n\Delta) +\imath\ \sin (2n\Delta) \\
&= \sum_{n=0}^{N-1} e^{\imath\ 2n\Delta}\\
&= \sum_{n=0}^{N-1} \left(e^{\imath\ 2\Delta}\right)^n
\end{split}
\]
con l'ultimo membro che coincide con la ridotta \(N-1\)esima della serie geometrica (complessa) di ragione \(e^{\imath\ 2\Delta}\); dato che la regola per formare le ridotte della serie geometrica nel campo complesso è la stessa del campo reale, si ha:
\[
\begin{split}
\sum_{n=0}^{N-1} \cos (2n\Delta) +\imath\ \sum_{n=0}^{N-1} \sin (2n\Delta) &= \frac{1-e^{\imath\ 2N\Delta}}{1-e^{\imath\ 2\Delta}}\\
&= \frac{1}{1-\cos 2\Delta - \imath\ \sin 2\Delta}\ \left( 1-\cos 2N\Delta - \imath\ \sin 2N\Delta \right)\\
&= \frac{1-\cos 2\Delta + \imath\ \sin 2\Delta}{(1-\cos 2\Delta)^2 + \sin^2 2\Delta}\ \left( 1-\cos 2N\Delta - \imath\ \sin 2N\Delta \right)\\
&= \frac{(1-\cos 2\Delta)(1-\cos 2N\Delta) + \sin 2\Delta\ \sin 2N\Delta}{(1-\cos 2\Delta)^2 + \sin^2 2\Delta} \\
&\phantom{=} +\imath\ \frac{- (1-\cos 2\Delta) \sin 2N\Delta + (1-\cos 2N\Delta) \sin 2\Delta}{(1-\cos 2\Delta)^2 + \sin^2 2\Delta}
\end{split}
\]
sicché:
\[
\begin{split}
\sum_{n=0}^{N-1} \cos (2n\Delta) &= \frac{(1-\cos 2\Delta)(1-\cos 2N\Delta) + \sin 2\Delta\ \sin 2N\Delta}{(1-\cos 2\Delta)^2 + \sin^2 2\Delta}\\
\sum_{n=0}^{N-1} \sin (2n\Delta) &= \frac{- (1-\cos 2\Delta) \sin 2N\Delta + (1-\cos 2N\Delta) \sin 2\Delta}{(1-\cos 2\Delta)^2 + \sin^2 2\Delta}\; ,
\end{split}
\]
e bisogna fare un po' di contarielli.
Usando le classiche formule di duplicazione e di sottrazione, abbiamo:
\[
\begin{split}
\sum_{n=0}^{N-1} \cos (2n\Delta) &= \frac{(1-\cos 2\Delta)(1-\cos 2N\Delta) + \sin 2\Delta\ \sin 2N\Delta}{(1-\cos 2\Delta)^2 + \sin^2 2\Delta}\\
&= \frac{(1-\cos 2\Delta)(1-\cos 2N\Delta) + \sin 2\Delta\ \sin 2N\Delta}{2(1-\cos 2\Delta)}\\
&= \frac{(1-\cos^2 \Delta + \sin^2 \Delta)(1-\cos^2 N\Delta + \sin^2 N\Delta) + 2\ \sin \Delta \cos \Delta\ 2\ \sin N\Delta \cos N\Delta}{2(1-\cos^2 \Delta +\sin^2 \Delta)}\\
&= \frac{4\ \sin^\cancel{2} \Delta\ \sin^2 N\Delta + 4\ \cancel{\sin \Delta}\ \cos \Delta\ \sin N\Delta\ \cos N\Delta}{4\ \sin^\cancel{2} \Delta}\\
&= \frac{\sin N\Delta}{\sin \Delta}\ \left( \sin \Delta\ \sin N\Delta + \cos \Delta\ \cos N\Delta \right)\\
&= \frac{\sin N\Delta}{\sin \Delta}\ \cos (N-1)\Delta
\end{split}
\]
che è la prima identità.
La seconda si prova in maniera analoga.

[bartofra]

Grazie mille Gugo.



Ho seguito tutti i passi e ..... ora risulta anche a me.

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Chiuso per violazione sistematica del regolamento da parte dell'utente ciromario.

Se una regola viene violata (in maniera sistematica, tra l'altro), i moderatori devono prendere provvedimenti proprio per non cadere nelle storture che ciromario segnala in alcuni suoi OT (le quali, alla lunga, logorano il clima di civiltà che vige su questo forum e fuori di esso).

D'altra parte, la moderazione stenta a capire perché l'utente ciromario, che a parole si mostra così avverso alle sistematiche violazioni del "senso del decoro" e delle "norme", si senta in dovere di violare altrettanto sistematicamente il regolamento del forum, equivalente in una community virtuale di quelle "norme" e di quel "senso del decoro" che egli stesso cerca di proteggere.
L'unica spiegazione possibile è che il suo sia solo un atteggiamento "trolleggiante", senza alcun fine se non quello di rompere il clima di serenità che regna in queste pagine.

Ciò non verrà permesso. Mai.[/xdom]