Formule ricorsive e somma della serie
è sempre possibile scrivere una formula ricorsiva sotto il simbolo di sommatoria , esistono solo casi particolari oppure non si può fare propio??
esempio:
S1 = 2
S2= S1+ (2*1+1)
S3=S2+(2*2+1)
...
....
IN GENERALE : Sn+1=Sn+(2n+1) ;
questa posso scriverla sotto il segno di sommatoria??? se si come?? CIOè IM PRATICA VOGLIO SAPERE SE POSSO SCRIVERE IN FORMA COMPATTA LA SOMMA DEI PRIMI n TERMINI !
PER IL FATTORIALE AD ESEMPIO POSSO SCRIVERE IN FORMA COMPATTA CON IL SIMBOLO DI PRODUTTORIA n!
fatemi sapere GRAZIE!
esempio:
S1 = 2
S2= S1+ (2*1+1)
S3=S2+(2*2+1)
...
....
IN GENERALE : Sn+1=Sn+(2n+1) ;
questa posso scriverla sotto il segno di sommatoria??? se si come?? CIOè IM PRATICA VOGLIO SAPERE SE POSSO SCRIVERE IN FORMA COMPATTA LA SOMMA DEI PRIMI n TERMINI !
PER IL FATTORIALE AD ESEMPIO POSSO SCRIVERE IN FORMA COMPATTA CON IL SIMBOLO DI PRODUTTORIA n!
fatemi sapere GRAZIE!
Risposte
Formalmente la tua domanda è: data una relazione ricorsiva (in questo caso ${(s_1=2),(s_{n+1}=s_n+(2n+1)):}$), esiste una serie numerica di cui la successione $(s_n)_{n\inNN}$ sia la successione delle somme parziali?
In questo caso direi di si: $s_{n+1}=s_n+(2n+1)=s_{n-1}+(2(n-1)+1)+(2n+1)=ldots=$$s_1+(2*(1)+1)+(2*(2)+1)+ldots+(2*(n-1)+1)+(2*n+1)=$$=s_1 + sum_{k=1}^n(2k+1)$.
Per quanto riguarda il caso generale non saprei dirti però.
Sicuramente se la relazione è lineare puoi rifare questo ragionamento. Ma se la relazione è qualcosa come ${(x_1=alpha),(x_{n+1}=f(x_n)):}$ che si fa? Non lo so.
Invece per il fattoriale $n! =prod_{k=1}^n k, 0! =1$.
In questo caso direi di si: $s_{n+1}=s_n+(2n+1)=s_{n-1}+(2(n-1)+1)+(2n+1)=ldots=$$s_1+(2*(1)+1)+(2*(2)+1)+ldots+(2*(n-1)+1)+(2*n+1)=$$=s_1 + sum_{k=1}^n(2k+1)$.
Per quanto riguarda il caso generale non saprei dirti però.
Sicuramente se la relazione è lineare puoi rifare questo ragionamento. Ma se la relazione è qualcosa come ${(x_1=alpha),(x_{n+1}=f(x_n)):}$ che si fa? Non lo so.
Invece per il fattoriale $n! =prod_{k=1}^n k, 0! =1$.
Di esistere esiste. Lo dice il teorema di recursione semplice (di Peano?).
Il problema è se si può scrivere. Cioè se questa successione/serie ha una forma esplicita del tipo scritto da dissonance. Non sempre si può scrivere.
Ad esempio il fattoriale come lo scriveresti in forma di sommatoria?
Il problema è se si può scrivere. Cioè se questa successione/serie ha una forma esplicita del tipo scritto da dissonance. Non sempre si può scrivere.
Ad esempio il fattoriale come lo scriveresti in forma di sommatoria?
teorema di recursione semplice...mai sentito! 
Quando hai tempo puoi scrivere per bene enunciato e dimostrazione (se è breve, sennò non fa niente)?
Quando hai tempo puoi scrivere per bene enunciato e dimostrazione (se è breve, sennò non fa niente)?
Teorema di recursione in realtà è una famiglia di teoremi simili. L'aggettivo "semplice" ce l'ho messo io per indicare quello con ipotesi più semplici di questa famiglia (ci sono quello dipendente da parametri, quello di recursione transfinita,eccetera)
Teorema di Recursione (per modelli di Peano):
$AA A AA H:NNxA to NN AA a in A EE! f:NN to A$: $AA n in NN$ ${(f(0)=a),(f(n^+)=H(n,f(n))):}$
ove $n^+$ indica l'immagine di $n in NN$ tramite la funzione successore. Se stiamo parlando (come in questo caso) di $NN$ insieme nei numeri naturali $n^+$ è il numero n+1.
La dimostrazione non la ricordo nei dettagli ma così ad occhio dovrebbe essere qualcosa del tipo:
!) Se esiste almeno una funzione f come nella tesi verifico che essa è unica.
Se f ed f' sono 2 funzioni che verificano la proprietà in tesi verifico per induzione che esse coincidono per ogni n e dunque che sono uguali.
$EE$)Definiamo una funzione f "buona" se:
1) $dom(f)=NN$, $Im(f) subeA$
2) $0 in dom(f)$ e $f(0)=a$
3) $x^+ in dom(f) to x in dom(f)$
4) $x^+ in dom(f) to f(x^+)=H(x,f(x))$
Si verifica che esiste una funzione "buona" con dominio $NN$
Si pone $F={(x,b) in NN times A|EE f$ "buona"$, x in dom(f), f(x)=b}$ ed F è ben definito come sottoinsieme di $NN times A$.
Qui si dimostra (suppongo per induzione) che due funzioni buone coincidono sull'intersezione dei loro domini.
Da questo fatto segue che F è una funzione.
Poi si prova per induzione che $AA x in NN EEf$ "buona" :$x in dom(f)$ che vuol dire che $dom(F)=NN$.
A questo punto non resta che verificare che F è una funzione "buona" a sua volta, che si fa semplicemente applicando le proprietà 1,2,3,4 a F. QED.
Teorema di Recursione (per modelli di Peano):
$AA A AA H:NNxA to NN AA a in A EE! f:NN to A$: $AA n in NN$ ${(f(0)=a),(f(n^+)=H(n,f(n))):}$
ove $n^+$ indica l'immagine di $n in NN$ tramite la funzione successore. Se stiamo parlando (come in questo caso) di $NN$ insieme nei numeri naturali $n^+$ è il numero n+1.
La dimostrazione non la ricordo nei dettagli ma così ad occhio dovrebbe essere qualcosa del tipo:
!) Se esiste almeno una funzione f come nella tesi verifico che essa è unica.
Se f ed f' sono 2 funzioni che verificano la proprietà in tesi verifico per induzione che esse coincidono per ogni n e dunque che sono uguali.
$EE$)Definiamo una funzione f "buona" se:
1) $dom(f)=NN$, $Im(f) subeA$
2) $0 in dom(f)$ e $f(0)=a$
3) $x^+ in dom(f) to x in dom(f)$
4) $x^+ in dom(f) to f(x^+)=H(x,f(x))$
Si verifica che esiste una funzione "buona" con dominio $NN$
Si pone $F={(x,b) in NN times A|EE f$ "buona"$, x in dom(f), f(x)=b}$ ed F è ben definito come sottoinsieme di $NN times A$.
Qui si dimostra (suppongo per induzione) che due funzioni buone coincidono sull'intersezione dei loro domini.
Da questo fatto segue che F è una funzione.
Poi si prova per induzione che $AA x in NN EEf$ "buona" :$x in dom(f)$ che vuol dire che $dom(F)=NN$.
A questo punto non resta che verificare che F è una funzione "buona" a sua volta, che si fa semplicemente applicando le proprietà 1,2,3,4 a F. QED.
forse non mi sono spiegato bene io voglio poter scrivere in forma compatta la somma dei primi n termini della formula se era possibile e non la serie numerica di cui la successione (sn)n∈ℕ sia la successione delle somme parziali.
cioè scrivo il primo termine S1 poi il secondo S2 poi il terzo S3..........e così via fino ad n e li sommo (ok) ottenedo così la somma dei primi n termini ........mi chiedevo se era possibile scrivere questa somma in maniera compatta (senza calcolare via via i termini e sommarli ) con il simbolo di sommatoria!
cioè scrivo il primo termine S1 poi il secondo S2 poi il terzo S3..........e così via fino ad n e li sommo (ok) ottenedo così la somma dei primi n termini ........mi chiedevo se era possibile scrivere questa somma in maniera compatta (senza calcolare via via i termini e sommarli ) con il simbolo di sommatoria!
Prova così: non sono sicuro...
Potresti dimostrare per induzione che:
$s_n=s_1+sum_(i=2)^n(2i-1)$ per ogni n >=2.
Allora detta $k_m$ l'emmesima somma parziale della serie di termine generale $s_n$ hai:
$k_m=s_1+sum_(n=2)^m s_n=s_1+sum_(n=2)^m (s_1+ sum_(i=2)^n(2i-1))=...$ e questo dovrebbe essere il risultato modulo errori che sicuramente ci saranno...
Potresti dimostrare per induzione che:
$s_n=s_1+sum_(i=2)^n(2i-1)$ per ogni n >=2.
Allora detta $k_m$ l'emmesima somma parziale della serie di termine generale $s_n$ hai:
$k_m=s_1+sum_(n=2)^m s_n=s_1+sum_(n=2)^m (s_1+ sum_(i=2)^n(2i-1))=...$ e questo dovrebbe essere il risultato modulo errori che sicuramente ci saranno...
Provo a mettere un po'd'ordine:
allora il problema è, data una successione ricorsiva $(s_n)_{n\inNN}$, trovare un modo veloce di calcolare $sum_{k=1}^ns_k$. Giusto?
Nel caso specifico pure io farei come megan00b. Se può interessare Maple risolve questa ricorrenza così:
e (se il risultato di Maple è giusto) una soluzione che comporti un solo simbolo di sommatoria è:
$sum_{k=1}^n[-1+2*(k+1)*(1/2*k+1)-3*k]$.
La sostanza non cambia. In tutti i casi, prima abbiamo risolto la ricorrenza, e poi abbiamo sommato. E' possibile che si possa fare di meglio, cioè riuscire a non dover risolvere la ricorrenza, ma dubito che ci sia un metodo generale. Comunque non sono molto esperto di queste cose.
@megan00b: Il teorema che hai citato è quindi una specie di teorema di esistenza e unicità per equazioni differenziali ... solo che qui l'equazione è discreta... mi sbaglio?
allora il problema è, data una successione ricorsiva $(s_n)_{n\inNN}$, trovare un modo veloce di calcolare $sum_{k=1}^ns_k$. Giusto?
Nel caso specifico pure io farei come megan00b. Se può interessare Maple risolve questa ricorrenza così:
>eqn:={s(n+1)=s(n)+2*n+1, s(1)=2};
>rsolve(eqn, s);
$-1+2*(n+1)*(1/2*n+1)-3*n$
e (se il risultato di Maple è giusto) una soluzione che comporti un solo simbolo di sommatoria è:
$sum_{k=1}^n[-1+2*(k+1)*(1/2*k+1)-3*k]$.
La sostanza non cambia. In tutti i casi, prima abbiamo risolto la ricorrenza, e poi abbiamo sommato. E' possibile che si possa fare di meglio, cioè riuscire a non dover risolvere la ricorrenza, ma dubito che ci sia un metodo generale. Comunque non sono molto esperto di queste cose.
@megan00b: Il teorema che hai citato è quindi una specie di teorema di esistenza e unicità per equazioni differenziali ... solo che qui l'equazione è discreta... mi sbaglio?
Non so quanto si possano paragonare le due cose. Provo a ragionarci:
Il teorema di esistenza e unicità per equazioni differenziali afferma che sotto determinate ipotesi esiste ed è unica la soluzione di un problema al bordo, quindi un'equazione che lega una funzione con le sue derivate e con altre funzioni (in generale $y^((n))=g(x,y,y',y'',...,y^((n-1)))$ più una condizione di bordo. Questa equazione deve valere per ogni x (in un certo insieme). E' un po' come se ci fossero tante equazioni del tipo $y^((n))(x_0)=g(x_0,y(x_0),y'(x_0),y''(x_0),...,y^((n-1))(x_0))$, una per ciascun punto $x_0$.
Invece in questo caso c'è una successione definita per ricorrenza (che a priori non è detto che sia una vera successione cioè una funzione da N nell'insieme) e si vuole dimostrare che esiste una successione che verifica quella condizione per ogni n: la condizione è data tra n e il suo successore. Il teorema dice che esiste una e una sola successione che verifica la proprietà per ogni n e che quindi la definizione per ricorsione è una buona definizione della successione. Ora per fare un paragone dovremmo sostenere che il teorema sulle equadiff si può vedere come: "sotto determinate ipotesi, il problema taldeitali è una buona definizione della funzione che lo risolve" però non so cosa altro inventarmi... se qualcuno ne sa qualcosa si faccia avanti... sono curioso anch'io.
Il teorema di esistenza e unicità per equazioni differenziali afferma che sotto determinate ipotesi esiste ed è unica la soluzione di un problema al bordo, quindi un'equazione che lega una funzione con le sue derivate e con altre funzioni (in generale $y^((n))=g(x,y,y',y'',...,y^((n-1)))$ più una condizione di bordo. Questa equazione deve valere per ogni x (in un certo insieme). E' un po' come se ci fossero tante equazioni del tipo $y^((n))(x_0)=g(x_0,y(x_0),y'(x_0),y''(x_0),...,y^((n-1))(x_0))$, una per ciascun punto $x_0$.
Invece in questo caso c'è una successione definita per ricorrenza (che a priori non è detto che sia una vera successione cioè una funzione da N nell'insieme) e si vuole dimostrare che esiste una successione che verifica quella condizione per ogni n: la condizione è data tra n e il suo successore. Il teorema dice che esiste una e una sola successione che verifica la proprietà per ogni n e che quindi la definizione per ricorsione è una buona definizione della successione. Ora per fare un paragone dovremmo sostenere che il teorema sulle equadiff si può vedere come: "sotto determinate ipotesi, il problema taldeitali è una buona definizione della funzione che lo risolve" però non so cosa altro inventarmi... se qualcuno ne sa qualcosa si faccia avanti... sono curioso anch'io.
Mah, non so quanto abbia senso (e magari è anche OT), comunque il ragionamento che ho seguito è stato questo:
quando abbiamo una relazione ricorsiva, diciamo ${(y_0=a),(y_{n+1}=H(n,y_n)):}$ per usare la tua notazione (e consideriamo solo variabili in $NN$ per semplicità), tutto sommato mi viene in mente qualcosa tipo ${(y(0)=alpha),(y'=f(x,y(x))):}$. Questo perché, a patto di riscrivere $y_{n+1}=H(n,y_n)$ come $y_{n+1}-y_n=K(n,y_n)=H-y_n$ abbiamo una equazione dove a primo membro compare una differenza tra termini successivi di $y_n$, che è una specie di "derivata prima" per le successioni. [size=75](Se poi vogliamo "derivate" di ordine superiore $p$ basta considerare differenze di tipo $y_{n+p}-y_n$)[/size]
Esattamente la stessa cosa che ci chiediamo quando approcciamo un problema di Cauchy. Ci sarà una funzione che soddisfa la condizione del problema? E' unica? E analogamente: ci sarà una successione che verifica la relazione per ricorrenza, eccetera. Che dici?
[edit]sulla parte in minuscoletto non sono convintissimo.
quando abbiamo una relazione ricorsiva, diciamo ${(y_0=a),(y_{n+1}=H(n,y_n)):}$ per usare la tua notazione (e consideriamo solo variabili in $NN$ per semplicità), tutto sommato mi viene in mente qualcosa tipo ${(y(0)=alpha),(y'=f(x,y(x))):}$. Questo perché, a patto di riscrivere $y_{n+1}=H(n,y_n)$ come $y_{n+1}-y_n=K(n,y_n)=H-y_n$ abbiamo una equazione dove a primo membro compare una differenza tra termini successivi di $y_n$, che è una specie di "derivata prima" per le successioni. [size=75](Se poi vogliamo "derivate" di ordine superiore $p$ basta considerare differenze di tipo $y_{n+p}-y_n$)[/size]
...in questo caso c'è una successione definita per ricorrenza (che a priori non è detto che sia una vera successione cioè una funzione da N nell'insieme) e si vuole dimostrare che esiste una successione che verifica quella condizione...
Esattamente la stessa cosa che ci chiediamo quando approcciamo un problema di Cauchy. Ci sarà una funzione che soddisfa la condizione del problema? E' unica? E analogamente: ci sarà una successione che verifica la relazione per ricorrenza, eccetera. Che dici?
[edit]sulla parte in minuscoletto non sono convintissimo.
Davvero non saprei, il tuo ragionamento ha un suo perchè...però mi dà l'impressione di una forzatura di significato...
...chissà se una simile analogia può trovare qualche applicazione che ci aiuti a vedere meglio l'analogia stessa...
...chissà se una simile analogia può trovare qualche applicazione che ci aiuti a vedere meglio l'analogia stessa...
la formula l'ha inventata gauss alle elementari, non hai neanche bisogno della sommatoria: la somma dei primi n num naturali è (1+2+...+n)=n(n+1)/2
"LellyKelly":
la formula l'ha inventata gauss alle elementari, non hai neanche bisogno della sommatoria: la somma dei primi n num naturali è (1+2+...+n)=n(n+1)/2
[mod="Fioravante Patrone"]1. Qui si chiede rispetto per gli utenti, quindi il tuo riferimento, nel titolo del post, a "parassi-qualcosa" te lo potevi e dovevi risparmiare.[/mod]
2. La richiesta di PRASSITELE86 riguardava questa successione:
S1 = 2
S2= S1+ (2*1+1)
S3=S2+(2*2+1)
Facendo due conticini, si vede che:
S1 = 2
S2 = 5
S3 = 10
Che non è la "tua" successione.
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