Formule di Gauss-Green - integrale doppio

[tornadoh71]

Ciao a tutti.
In un compito di Analisi due mi si chiede di risolvere questo integrale utilizzando le formule di Gauss-Green ..
Non sono riuscito a capire come operare .. conosco le formule di Gauss-Green e credo che il problema sia
applicarle al contrario, cioè dall'integrale sulla curva, ricavare l'integrale doppio ...


$ int_(+L) (2x^3 - y^3 ) dx + (x^3 +y^3) dy $

con L la circonferenza di centro l'origine e raggio 1

spero possiate darmi un input
grazie tante

Gaetano

[tornadoh71]

Ho forse trovato un modo però speravo in una vostra conferma .. è possibile che l'integrale doppio corrispondente sia :

$ 3 int int_(D) ( x^2 + y^2 ) dx dy $


che risolto da $ 2pi $ ..

grazie

[Quinzio]

A parte il teorema di GaussGreen, se parametrizzi [tex]x= cos\theta, y= sin\theta, dx = -sin\theta\ d\theta, dy = cos\theta\ d\theta[/tex]
l'integrale diventa

[tex]\displaystyle\int_{0}^{2\pi} (-2sen\theta cos^3\theta+sen^4\theta+cos^4\theta+sen^3\theta cos\theta)\, d\theta[/tex]

che poi credo che sia la stessa cosa che applicare GaussGreen

dovrebbe risultare [tex]3\pi/2[/tex]

[tornadoh71]

Grazie Quinzio ...
ho appena provato a risolvere l'integrale che mi hai scritto che appunto si ricava sostituendo le equazioni parametriche della circonferenza e le loro derivate nella formula iniziale .. però il risultato è $ 3/2 pi $ non $ 2pi $ come invece io avevo ricavato nell'altro modo .. però il risultato dovrebbe essere lo stesso ..

[Rigel1]

"tornadoh71":Ho forse trovato un modo però speravo in una vostra conferma .. è possibile che l'integrale doppio corrispondente sia :

$ 3 int int_(D) ( x^2 + y^2 ) dx dy $


che risolto da $ 2pi $ ..

Non esattamente...
Forse ti sei dimenticato lo jacobiano del cambio di variabili?

[tornadoh71]

grazie Rigel ... mi ero scordato lo Jacobiano !!

in questo modo i due risultati coincidono, cioè sia che calcolo l'integrale sulla curva che l'integrale doppio, trovo sempre $ 3/2 pi $

grazie tante