Formule di De Moivre
Ciao sono Francesco. Ho finito il liceo scientifico e ho iniziato l'università. Già alla seconda pagina del libro di analisi (ANALISI 1 Luca Baracco, Giuseppe Zampieri ed: Bollati Boringhieri ) non riesco per nulla a capire una cosa: vedi immagine allegata. Qualcuno mi può gentilmente spiegare a parole semplici la dimostrazione della proposizione 1.5 e tradurre in parole la simbologia matematica utilizzata nell'identità (5)
Inoltre cosa significa {A}i∈I
Sono consapevole del fatto che incontrerò centinaia di altre cose che non capirò. Tranquilli scriverò sul forum solamente ed esclusivamente se strettamente necessario!
Grazie mille
Inoltre cosa significa {A}i∈I
Sono consapevole del fatto che incontrerò centinaia di altre cose che non capirò. Tranquilli scriverò sul forum solamente ed esclusivamente se strettamente necessario!
Grazie mille
Risposte
Allora ... ci provo ...
La scrittura ${A}_(iinI)$ sta ad indicare una famiglia di insiemi (puoi anche vederla come un insieme di insiemi se vuoi, ma non è del tutto corretto ...) cioè TANTI insiemi, generalmente diversi ma non è detto, identificati tutti dalla lettera $A$ e da un pedice variabile $i$ il quale varia all'interno dell'insieme $I$ (cioè $i$ è un elemento di $I$).
Un esempio: se l'insieme $I$ è ${a,2,c,R,3}$ allora ${A}_(iinI)$ è la famiglia di insiemi composta dagli insiemi $A_a$, $A_2$, $A_c$, $A_R$ e$A_3$, i quali possono essere tutti diversi (e quindi con elementi diversi).
E questa è una cosa ...
Cordialmente, Alex
La scrittura ${A}_(iinI)$ sta ad indicare una famiglia di insiemi (puoi anche vederla come un insieme di insiemi se vuoi, ma non è del tutto corretto ...) cioè TANTI insiemi, generalmente diversi ma non è detto, identificati tutti dalla lettera $A$ e da un pedice variabile $i$ il quale varia all'interno dell'insieme $I$ (cioè $i$ è un elemento di $I$).
Un esempio: se l'insieme $I$ è ${a,2,c,R,3}$ allora ${A}_(iinI)$ è la famiglia di insiemi composta dagli insiemi $A_a$, $A_2$, $A_c$, $A_R$ e$A_3$, i quali possono essere tutti diversi (e quindi con elementi diversi).
E questa è una cosa ...
Cordialmente, Alex
Adesso ci provo con la (5) ...
La (5) è un'uguaglianza di insiemi quindi il membro di sinistra, preso TUTTO insieme cioè $X\text(\) uuu_iA_i$ è un insieme così come quello di destra.
la barra $\text(\)$ sta ad indicare l'operazione di differenza tra insiemi $A\text(\)B$ (si scrive anche $A - B$) cioè il risultato di questa operazione è un insieme formato dagli elementi di $A$ a cui sono stati tolti gli elementi di $B$.
Il membro di sinistra $X\text(\) uuu_iA_i$ quindi è una differenza di insiemi; il "minuendo" è $X$ e non c'è niente da aggiungere, mentre il "sottraendo" è l'UNIONE di tutti gli insiemi $A_i$ con $i$ che varia nell'insieme $I$ (come detto nel post precedente).
Il membro di destra $nnn_i(X\text(\)A_i)$ invece è l'INTERSEZIONE di tutti gli insiemi ottenuti, di volta in volta, dalla differenza tra $X$ e il generico insieme $A_i$ (cioè prima "calcolo" le differenze e poi "calcolo" l'intersezione tra gli insiemi così ottenuti).
Segue la dimostrazione (forse ...
)
Cordialmente, Alex
La (5) è un'uguaglianza di insiemi quindi il membro di sinistra, preso TUTTO insieme cioè $X\text(\) uuu_iA_i$ è un insieme così come quello di destra.
la barra $\text(\)$ sta ad indicare l'operazione di differenza tra insiemi $A\text(\)B$ (si scrive anche $A - B$) cioè il risultato di questa operazione è un insieme formato dagli elementi di $A$ a cui sono stati tolti gli elementi di $B$.
Il membro di sinistra $X\text(\) uuu_iA_i$ quindi è una differenza di insiemi; il "minuendo" è $X$ e non c'è niente da aggiungere, mentre il "sottraendo" è l'UNIONE di tutti gli insiemi $A_i$ con $i$ che varia nell'insieme $I$ (come detto nel post precedente).
Il membro di destra $nnn_i(X\text(\)A_i)$ invece è l'INTERSEZIONE di tutti gli insiemi ottenuti, di volta in volta, dalla differenza tra $X$ e il generico insieme $A_i$ (cioè prima "calcolo" le differenze e poi "calcolo" l'intersezione tra gli insiemi così ottenuti).
Segue la dimostrazione (forse ...
)Cordialmente, Alex
@axpgn: forse va detto che "in simboli" la differenza tra due insiemi $A$ e $B$ equivale a scrivere
$$A\setminus B=\{x\ :\ x\in A\ \mathrm{e}\ x\notin B\}$$
così parte "lo spunto" della dimostrazione.
$$A\setminus B=\{x\ :\ x\in A\ \mathrm{e}\ x\notin B\}$$
così parte "lo spunto" della dimostrazione.
Dimostrazione della (5)
Due insiemi sono uguali se tutti gli elementi di uno sono anche e solamente gli elementi dell'altro.
Quindi dobbiamo dimostrare che un generico elemento del membro di sinistra è anche un elemento del membro di destra (e viceversa).
Proviamo passo passo ...
$x in (X\text(\)uuu_iA_i)$ significa che $x$ è un elemento del membro di sinistra.
Affinché il generico elemento $x$ appartenga al membro di sinistra deve essere $x in X ^^ x notin uuu_iA_i$ cioè deve contemporaneamente appartenere a $X$ e NON appartenere all'unione dei vari $A_i$ (vedi definizione di "differenza di insiemi" nei post precedenti).
Ma questo significa che $x$ NON deve appartenere a NESSUNO dei vari $A_i$ cioè $x notin A_i AAi$ (oltreché $x in X$)
Quest'ultima frase equivale a dire che $x$ appartiene a tutte le differenze tra $X$ e i vari $A_i$ cioè $x in X\text(\)A_i AAi$
Appartenere a tutte le differenze $X\text(\)A_i AAi$ significa appartenere all'intersezione delle differenze e cioè $x in nnn_i(X\text(\)A_i)$.
Che è ciò che volevamo dimostrare.
Cordialmente, Alex
Due insiemi sono uguali se tutti gli elementi di uno sono anche e solamente gli elementi dell'altro.
Quindi dobbiamo dimostrare che un generico elemento del membro di sinistra è anche un elemento del membro di destra (e viceversa).
Proviamo passo passo ...
$x in (X\text(\)uuu_iA_i)$ significa che $x$ è un elemento del membro di sinistra.
Affinché il generico elemento $x$ appartenga al membro di sinistra deve essere $x in X ^^ x notin uuu_iA_i$ cioè deve contemporaneamente appartenere a $X$ e NON appartenere all'unione dei vari $A_i$ (vedi definizione di "differenza di insiemi" nei post precedenti).
Ma questo significa che $x$ NON deve appartenere a NESSUNO dei vari $A_i$ cioè $x notin A_i AAi$ (oltreché $x in X$)
Quest'ultima frase equivale a dire che $x$ appartiene a tutte le differenze tra $X$ e i vari $A_i$ cioè $x in X\text(\)A_i AAi$
Appartenere a tutte le differenze $X\text(\)A_i AAi$ significa appartenere all'intersezione delle differenze e cioè $x in nnn_i(X\text(\)A_i)$.
Che è ciò che volevamo dimostrare.
Cordialmente, Alex
@ciampax
In effetti quel post è una sorta di "legenda" e quella, in simboli, è l'informazione più importante ...
Cordialmente, Alex
In effetti quel post è una sorta di "legenda" e quella, in simboli, è l'informazione più importante ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
@ciampax
In effetti quel post è una sorta di "legenda" e quella, in simboli, è l'informazione più importante ...
Cordialmente, Alex
Ma certo, non volevo mica correggerti. Era solo perché pensavo volessi lasciare all'utente la possibilità di ricostruirsi la dimostrazione da sé.
Dovevo essere più chiaro nelle mie intenzioni ...
La richiesta dell'utente mi era sembrata chiara nel "desiderare" una spiegazione della dimostrazione ma non ero sicuro di poterla fornire ...
Cordialmente, Alex
La richiesta dell'utente mi era sembrata chiara nel "desiderare" una spiegazione della dimostrazione ma non ero sicuro di poterla fornire ...
Cordialmente, Alex
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