Formulazione matematica del concetto di limite...
non riesco a capire completamente la definizione matematica di limite..
primo: non capisco perchè alcune definizioni si limitano semplicemnte a dire che per ogni elemento di un intorno del punto di acc. , f(x) deve appartenere
ad ogni intorno di L, e non che esso si debba avvicinare ad L (limite) per x che si avvicina al punto di acc. , come la "classica" definizione
secondo: perchè scelgo un numero epsilon a piacere, da cui dipende l'intorno di x(punto di acc), da cui segue che l'intorno di L dipende da questo delta??
cioè.. non è l'intorno di x che dipende dall'intorno di L?? perche la definizione mi da la sensazione che dica il contrario?
aiutatemi:(
[mod="gugo82"]Sei pregata di attenerti al regolamento (cfr. 3.5) e di non usare il grassetto in futuro.
Grazie.[/mod]
primo: non capisco perchè alcune definizioni si limitano semplicemnte a dire che per ogni elemento di un intorno del punto di acc. , f(x) deve appartenere
ad ogni intorno di L, e non che esso si debba avvicinare ad L (limite) per x che si avvicina al punto di acc. , come la "classica" definizione
secondo: perchè scelgo un numero epsilon a piacere, da cui dipende l'intorno di x(punto di acc), da cui segue che l'intorno di L dipende da questo delta??
cioè.. non è l'intorno di x che dipende dall'intorno di L?? perche la definizione mi da la sensazione che dica il contrario?
aiutatemi:(
[mod="gugo82"]Sei pregata di attenerti al regolamento (cfr. 3.5) e di non usare il grassetto in futuro.
Grazie.[/mod]
Risposte
Le definizioni sono equivalenti... e non è che tu le abbia enunciate benissimo..
$forall \epsilon in RR^+ exists \delta > 0 "t.c." forall x in B_\delta(x_0) "vale" |f(x) - l| < \epsilon$
la tua $\epsilon$ indicherebbe la precisione del limite, in poche ( e brutte ) parole.
Se prendi un $\epsilon$ molto grande, vuol dire che i valori che la f può assumere possono spaziare di un bel pò ( esattamente un'intervallo lungo $2epsilon$ ) in un'intorno del punto $x_0$.
Tuttavia la condizione dice "per OGNI $\epsilon$"! Questo vuol dire che posso prendere $\epsilon = 0.000000000000000000000001$, e questo mi assicura che in un dato intorno di raggio $delta$ ( sicuramente molto più piccolo di quello precedente ) dal mio punto di riferimento, la funzione non potrà spaziare per più di $0.000000000000000000000002$!.
Le implicazioni di queste considerazioni dà la definizione di limite.
Non è una cosa ovvia... ragiona un pò sul significato di ogni elemento della proposizione e della sua posizione in essa.
$forall \epsilon in RR^+ exists \delta > 0 "t.c." forall x in B_\delta(x_0) "vale" |f(x) - l| < \epsilon$
la tua $\epsilon$ indicherebbe la precisione del limite, in poche ( e brutte ) parole.
Se prendi un $\epsilon$ molto grande, vuol dire che i valori che la f può assumere possono spaziare di un bel pò ( esattamente un'intervallo lungo $2epsilon$ ) in un'intorno del punto $x_0$.
Tuttavia la condizione dice "per OGNI $\epsilon$"! Questo vuol dire che posso prendere $\epsilon = 0.000000000000000000000001$, e questo mi assicura che in un dato intorno di raggio $delta$ ( sicuramente molto più piccolo di quello precedente ) dal mio punto di riferimento, la funzione non potrà spaziare per più di $0.000000000000000000000002$!.
Le implicazioni di queste considerazioni dà la definizione di limite.
Non è una cosa ovvia... ragiona un pò sul significato di ogni elemento della proposizione e della sua posizione in essa.
"Giusyinthesky":
non riesco a capire completamente la definizione matematica di limite..
primo: non capisco perchè alcune definizioni si limitano semplicemnte a dire che per ogni elemento di un intorno del punto di acc. , f(x) deve appartenere
ad ogni intorno di L, e non che esso si debba avvicinare ad L (limite) per x che si avvicina al punto di acc. , come la "classica" definizione
secondo: perchè scelgo un numero epsilon a piacere, da cui dipende l'intorno di x(punto di acc), da cui segue che l'intorno di L dipende da questo delta??
cioè.. non è l'intorno di x che dipende dall'intorno di L?? perche la definizione mi da la sensazione che dica il contrario?
aiutatemi:(
Ciao, allora, dire che una funzione tende ad un limite $l$ (per esempio quando le ascisse tendono a $+oo$) significa, in parole molto povere, che, a partire da un certo indice in poi, stai sicuro che il grafico della funzione rimarrà vincolato all'interno di una striscia di piano, di ampiezza l-epsilon, l+epsilon; La generalità della definizione di limite sta nel fatto che quell'espilon che definisce l'ampiezza della striscia di piano che conterrà PER SEMPRE prima o poi il grafico della funzione, è un numero positivo QUALUNQUE; questo significa, che, per qualunque numero epsilon positivo ti venga in mente, il grafico della funzione è contenuto in quella striscia e quindi non può muoversi bruscamente verso l'alto o verso il basso, ma deve tendere ad un preciso valore; quindi, anche per epsilon infinitamente piccoli, la funzione non esce fuori da quella striscia e questo logicamente significa che si avvicina ad un dato valore l senza mai toccarlo. Spero sia stato sufficientemente chiaro, ciao.
Naturalmente la scelta dell'indice a partire dal quale è vera la definizione, dipende da quale margine di errore epsilon scegli. Infatti, se poni epsilon=36, puoi dire che la funzione sin da subito, cioè dopo "poche x" già è contenuta in quella striscia di piano, mentre se fissi epsilon infinitamente piccolo, dovrai aspettare molto di più prima che il grafico di f sarà contenuto per sempre nella striscia.
Mi scuso anticipatamente nei confronti dei matematici per la mia definizione terra terra
scusate per il piccolo ritardo.. grazie per il vostro aiuto!!:)
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