Formula variazione costanti
Ciao, amici!
Stavo divertendomi con un'equazione differenziale quando ho cominciato a "mettere in dubbio" una cosina (in realtà mi sento certo della cosa, ma chiedo perché il mio senso di sicurezza è direttamente proporzionale alla probabilità che mi stia sbagliando
): so per certo che se $W(t)$ è una matrice fondamentale per l'equazione omogenea $\mathbf{y}'=A(t)\mathbf{y}$ sull'intervallo $I$ allora l'unica soluzione* del problema di Cauchy
\[\begin{cases} \mathbf{y}'=A(t)\mathbf{y}+\mathbf{b}(t) \\ \mathbf{y}(t_0)=\mathbf{0} \end{cases} \]
è $\mathbf{y}(t)=W(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s$. Ovviamente per un generico dato iniziale $\mathbf{y}(t_0)=\mathbf{y}_0$ la soluzione è $\mathbf{y}(t)=\mathbf{y}_0+W(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s$, giusto?
Grazie di cuore a chi avrà la pazienza di rispondere!!!
*L'unicità e l'esistenza della soluzione credo siano garantite se $A(t)$ e $\mathbf{b}(t)$ sono continue in $I$. Se non lo sono credo che esistenza ed unicità non valgano necessariamente (prego chi si accorgesse che sparo stupidate di correggermi), vero?
Stavo divertendomi con un'equazione differenziale quando ho cominciato a "mettere in dubbio" una cosina (in realtà mi sento certo della cosa, ma chiedo perché il mio senso di sicurezza è direttamente proporzionale alla probabilità che mi stia sbagliando
): so per certo che se $W(t)$ è una matrice fondamentale per l'equazione omogenea $\mathbf{y}'=A(t)\mathbf{y}$ sull'intervallo $I$ allora l'unica soluzione* del problema di Cauchy\[\begin{cases} \mathbf{y}'=A(t)\mathbf{y}+\mathbf{b}(t) \\ \mathbf{y}(t_0)=\mathbf{0} \end{cases} \]
è $\mathbf{y}(t)=W(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s$. Ovviamente per un generico dato iniziale $\mathbf{y}(t_0)=\mathbf{y}_0$ la soluzione è $\mathbf{y}(t)=\mathbf{y}_0+W(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s$, giusto?
Grazie di cuore a chi avrà la pazienza di rispondere!!!
*L'unicità e l'esistenza della soluzione credo siano garantite se $A(t)$ e $\mathbf{b}(t)$ sono continue in $I$. Se non lo sono credo che esistenza ed unicità non valgano necessariamente (prego chi si accorgesse che sparo stupidate di correggermi), vero?
Risposte
"DavideGenova":
Ovviamente per un generico dato iniziale $\mathbf{y}(t_0)=\mathbf{y}_0$ la soluzione è $\mathbf{y}(t)=\mathbf{y}_0+W(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s$, giusto?
No. Infatti se sostituisci quella soluzione nell'equazione vedrai che non la soddisfa più. Ti dovrebbe rimanere un termine $A(t) \mathbf{y}_0$ che non si semplifica con nulla. La soluzione al problema di Cauchy con condizione iniziale generica si ottiene aggiungendo a
\( \displaystyle \mathbf{y}_p(t)=W(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s \)
una soluzione dell'omogenea
\( \mathbf{y}_{om}(t)=c_1 \mathbf{y}_1(t) + c_2 \mathbf{y}_2(t) \)
($\mathbf{y}_{1,2}(t)$ sono due soluzioni dell'equazione omogenea che hai usato per costruire $W(t)$) con $c_1,c_2$ tali che
\( \mathbf{y}_{om}(t_0)=\mathbf{y}_0 \)
In conclusione, la soluzione si scrive
\( \displaystyle \mathbf{y}(t)=c_1 \mathbf{y}_1(t) + c_2 \mathbf{y}_2(t)+W(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s \)
e soddisfa sia l'equazione non omogenea che la condizione iniziale.
Ti torna?
Graize di cuore, Alle.Fabbri! Mi hai salvato dal convincermi di una stupidata del genere. Mi è adesso chiaro che la soluzione che dici tu (scrivo $\mathbf{y}_{om}(t)=W(t)W^{-1}(t_0)\mathbf{y}_0$) risolve l'equazione perché ovviamente $\mathbf{y}_{om}(t_0)=\mathbf{y}_0$ e perché
$\mathbf{y}'(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t} (W(t)W^{-1}(t_0)\mathbf{y}_0+W(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s) =$
$W'(t)W^{-1}(t_0)\mathbf{y}_0+\W'(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s + W'(t)W^{-1}(t)\mathbf{b}(t)=$
$A(t)(W(t)W^{-1}(t_0)\mathbf{y}_0+ W(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s) + \mathbf{b}(t)$ dove $W'(t)=A(t)W(t)$ come da ipotesi.
Scusa(te) se ti/vi disturbo ancora, ma, per quanto riguarda l'unicità della soluzione, se $\mathbf{b}(t)$ e $A(t)$ non sono continue non è detto che la soluzione sia unica (se $W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)$ non è integrabile, non esiste neppure nella forma da me riportata), vero?
$+oo$ grazie!!!
$\mathbf{y}'(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t} (W(t)W^{-1}(t_0)\mathbf{y}_0+W(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s) =$
$W'(t)W^{-1}(t_0)\mathbf{y}_0+\W'(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s + W'(t)W^{-1}(t)\mathbf{b}(t)=$
$A(t)(W(t)W^{-1}(t_0)\mathbf{y}_0+ W(t)\int_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)\text{d}s) + \mathbf{b}(t)$ dove $W'(t)=A(t)W(t)$ come da ipotesi.
Scusa(te) se ti/vi disturbo ancora, ma, per quanto riguarda l'unicità della soluzione, se $\mathbf{b}(t)$ e $A(t)$ non sono continue non è detto che la soluzione sia unica (se $W^{-1}(s)\mathbf{b}(s)$ non è integrabile, non esiste neppure nella forma da me riportata), vero?
$+oo$ grazie!!!
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