Formula polinomio di Lagrange
Qualcuno sa spiegarmi perchè la formula del polinomio interpolante di Lagrange sia così?
Risposte
Sbaglierò io, ma quella non è semplicemente una definizione? Credo che quello che interessi a te è capire quanto valgano gli $y_j$, o sbaglio?
Si esatto
Detto in maniera semplice (non sto a scrivere tutti i calcoli che sono abbastanza facili): supponiamo di avere $n+1$ punti $(x_j,y_j)$, $j=0,1,\ldots,n$, con $x_i\ne x_j$ se $i\ne j$ e con $y_j=f(x_j)$. Si cerca un polinomio di grado $n$
$P_n(x)=a_0+a_1 x+\ldots+a_n x^n$
che interpoli la funzione $f$, per cui si impone che
$P(x_j)=a_0+a_1 x_j+\ldots+a_n x_j^n=y_j$ per $j=0,\ldots,n$
Viene fuori un sistema lineare di $n+1$ equazioni nelle $n+1$ incognite $a_j,\ j=0,\lodts,n$ che può essere risolto usando la regola di Cramer. Poiché il determinante della matrice dei coefficienti risulta pari a
$V=\prod_{i>j}(x_i-x_j)$ (è un determinante di Vandermonde)
e risulta sempre diverso da zero, per l'ipotesi fatta sulle $x_j$, ne segue che tale sistema ammette un'unica soluzione.
Ora, per arrivare alla soluzione voluta (quella che hai scritto tu) si considerano i polinomi seguenti
$l_j(x)=\frac{\omega_{n+1}(x)}{(x-x_j)\omega'_{n+1}(x_j)}$
dove si è posto
$\omega_{n+1}(x)=\prod_{i=0}^n(x-x_i),\qquad \omega'_{n+1}(x_j)=\frac{d\omega_{n+1}}{dx}(x_j)=\prod_{i=0,\ i\ne j}^n(x_j-x_i)$
i quali sono associati alle coppie di punti da interpolare $(x_j,\delta_{ij})$ (lo puoi vedere facilmente). A questo punto è immediato verificare che
$P_n(x9=\sum_{j=0}^n y_j l_j(x)$
Infatti poiché deve essere $l_j(x_k)=\delta_{jk}$ si ha
$P_n(x_k)=\sum_{j=0}^n y_j\delta_{jk}=y_k$
che è quanto desiderato.
P.S.: i polinomi $l_j$ si determinano risolvendo il sistema che ho scritto prima e supponendo che $y_j=\delta_{ij}$.
$P_n(x)=a_0+a_1 x+\ldots+a_n x^n$
che interpoli la funzione $f$, per cui si impone che
$P(x_j)=a_0+a_1 x_j+\ldots+a_n x_j^n=y_j$ per $j=0,\ldots,n$
Viene fuori un sistema lineare di $n+1$ equazioni nelle $n+1$ incognite $a_j,\ j=0,\lodts,n$ che può essere risolto usando la regola di Cramer. Poiché il determinante della matrice dei coefficienti risulta pari a
$V=\prod_{i>j}(x_i-x_j)$ (è un determinante di Vandermonde)
e risulta sempre diverso da zero, per l'ipotesi fatta sulle $x_j$, ne segue che tale sistema ammette un'unica soluzione.
Ora, per arrivare alla soluzione voluta (quella che hai scritto tu) si considerano i polinomi seguenti
$l_j(x)=\frac{\omega_{n+1}(x)}{(x-x_j)\omega'_{n+1}(x_j)}$
dove si è posto
$\omega_{n+1}(x)=\prod_{i=0}^n(x-x_i),\qquad \omega'_{n+1}(x_j)=\frac{d\omega_{n+1}}{dx}(x_j)=\prod_{i=0,\ i\ne j}^n(x_j-x_i)$
i quali sono associati alle coppie di punti da interpolare $(x_j,\delta_{ij})$ (lo puoi vedere facilmente). A questo punto è immediato verificare che
$P_n(x9=\sum_{j=0}^n y_j l_j(x)$
Infatti poiché deve essere $l_j(x_k)=\delta_{jk}$ si ha
$P_n(x_k)=\sum_{j=0}^n y_j\delta_{jk}=y_k$
che è quanto desiderato.
P.S.: i polinomi $l_j$ si determinano risolvendo il sistema che ho scritto prima e supponendo che $y_j=\delta_{ij}$.
Grazie finalmente iniziano a chiarirsi le idee!
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