Formula integrale sostituzione e dubbi nell'applicazione

[stranamentemate]

c'è qualcosa che mi sfugge nella spiegazione degli integrali per sostituzione:

$intf(g(t))g'(t)dt = int f(x)dx$.

in pratica io devo trovare una funzione composta e la derivata della funzione "più interna", fin qui chiarissimo.

Spesso però noto che nella risoluzione di alcuni integrali viene applicata la sostituzione pur non essendoci
$ int f(x)dx$ che sia riconducibile alla tabella degli integrali pur aggiustando le costanti

ad esempio:
$int \frac{\sqrt{1+lnx}}{x}dx$

$lnx=t$
$\frac{1}{x}dx=dt$

$\sqrt{1+t} dx$

$int \sqrt{1+t} dx = \frac{2}{3}\cdot(1+lnx)^\frac{3}{2}$

qua la funzione più esterna è la radice con incluso l'1?

$\sqrt{1+\ox}\cdot\ox' =\sqrt{1+qualsiasi cosa}\cdot qualsiasicosa'$

mi chiedo quindi se la funzione radice che contiene anche la costante 1 , possa essere una funzione che contiene altri termini al posto di 1 , $\ox$ e $\ox'$

ad esempio, facendo riferimento al precedente integrale, contentenente il $sinx$ al posto dell'1

$int \frac{\sqrt{sinx+lnx}}{x}dx$ =


$int \sqrt{sinx+t} dx = \frac{2}{3}\cdot(sinx+lnx)^\frac{3}{2}$

[SaraSueEss]

$int f(g(x))g'(x)dx$ $=$ $intf(y)dy|_(y=g(x))$

Nel primo caso, ovvero questo: $int sqrt(1+lnx)/xdx$

abbiamo: $f(y)=sqrty$ e $g(x)=1+lnx$, quindi $g'(x)=1/x$

$=>$ $int sqrt(1+lnx)/xdx$ $=$ $intsqrtydy|_(y=1+lnx)$ $=$ $[2/3*y^(3/2)]_(y=1+lnx)$

infine sostituendo abbiamo $2/3*(1+lnx)^(3/2)$

Nel secondo caso: $int sqrt(sinx+lnx)/xdx$ non ritrovo lo schema $f(g(x))g'(x)$ cercato, dunque dovrò risolvere in maniera differente

P.S. La funzione "più interna" è $1+lnx$ e non $lnx$ come da te indicato

[stranamentemate]

grazie, ma mi viene un dubbio guardando un altro integrale:

$\int \frac{1}{1+e^(2x)}dx$

$e^(2x)=t$
$dx=\frac{1}{2t}$

come può essere lecito $e^(2x)=t$ ?

$\int_{}^{} \frac{1}{1+t}\cdot\frac{1}{2t}=\frac{1}{2}\int_{}^{}(\frac{1}{t} \- \frac{1}{1+t})$

"SaraSue":
P.S. La funzione "più interna" è $1+lnx$ e non $lnx$ come da te indicato

allora a pag 310 esercizio 9.18 del Boella "analisi matematica 1 e algebra lineare" c'è un errore.

[SaraSueEss]

Non c'è un solo modo di risolvere un esercizio, considerando diversi $f(y)$ e $g(x)$ (che combinati appropriatamente corrispondono all'integrale dato) il tutto torna lo stesso.

Per esempio:

$int sqrt(1+lnx)/xdx$

pongo: $f(y)=sqrt(1+y)$ e $g(x)=lnx$, quindi $g'(x)=1/x$

$=>$ $int sqrt(1+lnx)/xdx$ $=$ $intsqrt(1+y)dy|_(y=lnx)$ $=$ $[2/3*(1+y)^(3/2)]_(y=lnx)$

infine sostituendo ottengo, come prima: $2/3*(1+lnx)^(3/2)$

Per quanto riguarda $int1/(1+e^(2x))dx$

pongo $e^(2x) = t$ $=>$ $x=1/2*lnt$ $=>$ $dx=1/2*1/t$

quindi ho: $int1/(1+t)*1/(2t)dt$ $=$ $1/2int1/(t*(1+t))dt$

adesso voglio scomporre $1/(t*(1+t))$ come $A/t+B/(1+t)$,

ottengo la condizione $(A(1+t)+Bt)/(t*(1+t)) = 1/(t*(1+t))$ $=>$ $A(1+t)+Bt =1$ che posso risolvere in 2 modi:

$(1)$ Eguaglio i coefficienti di entrambi i membri, ovvero ottengo il sistema $\{(A+B=0),(A=1):}$

$(2)$ Vedo $A(1+t)+Bt =1$ come un'identità di Bezout $=>$ $A=1$ e $B=-1$ (ovviamente ottengo gli stessi risultati del sistema)

Quindi: $1/2int1/(t*(1+t))dt$ $=$ $1/2(int1/tdt -int1/(1+t)dt)$

[stranamentemate]

"SaraSue":

Per quanto riguarda $int1/(1+e^(2x))dx$

Ottima spiegazione, complimenti.

un'ultima cosa:
qui quali sono le funzioni f(g(x)) e g'(x)? non le vedo proprio

[SaraSueEss]

Qui sopra l'ho risolto con un cambio di variabile (infatti ho posto $t=e^(2x)$ e proseguito di lì di conseguenza) perché mi sembrava la via più semplice e veloce.

Non vedo lo schema $int f(g(x))g'(x)dx$ in $int1/(1+e^(2x))dx$

[stranamentemate]

Corregetemi se sbaglio: quando si parla di integrali con sostituzione non si fa riferimento alla sola formula generale ma anche ad un semplice cambio di variabile senza che vi sia la formula $f(g(x))g'(x)dx$ in $int1/(1+e^(2x))dx$. Se è effettivamente così, l'ho capito solo ora, nei libri che ho introducono la formula e basta senza specificare che è possibile effettuare il cambio di variabile pur non esendoci nell'integrale iniziale la formula. Trovo assurdo che ci siano molti esercizi come $int1/(1+e^(2x))dx$ nel paragrafo degli integrali con metodo di sostituzione.

[SaraSueEss]

Non si capisce quello che hai scritto, stai attento ai $$$

[stranamentemate]

ecco, comunque sono una lei

[SaraSueEss]

Si tratta comunque si cambio di variabile, ma fatto in modo diverso