Formula generale della derivata di una funzione integrale
Girando sul Web (http://forum.skuola.net/matematica/ ... 39956.html) ho trovato questa formula per il calcolo della derivata di una funzione integrale:
[tex]\frac{d}{dx}\int_{\alpha (x) }^{\beta (x)} f(t,x)dt = \frac{d\beta}{dx}f(\beta(x),x)-\frac{d\alpha}{dx}f(\alpha(x),x) + \int_{\alpha (x) }^{\beta (x)} \frac{\partial}{\partial x}f(t,x)dt[/tex]
Rispetto all'originale (che trovate nel link) ho cambiato l'ultima derivata, inserendo quella parziale, visto che la funzione che derivo dipende da due variabili: è corretta questa mossa?
In ogni caso, ciò che mi interessa di questa formula è la sua dimostrazione.
Ho osservato che il teorema fondamentale del calcolo integrale (quello che si vede ad Analisi 1) risulta un caso particolare di questa formula ponendo [tex]\alpha(x)[/tex] costante, [tex]\beta(x) = x[/tex] ed eliminando la dipendenza da [tex]x[/tex] della funzione integranda.
In particolare, vorrei delle indicazioni su come procedere per questa dimostrazione, nel senso che vorrei capire innanzitutto quali strumenti matematici servano (riferendosi al metodo più semplice possibile) e come utilizzarli.
Sarò grato a chiunque vorrà cimentarsi assieme a me in questa impresa.
[tex]\frac{d}{dx}\int_{\alpha (x) }^{\beta (x)} f(t,x)dt = \frac{d\beta}{dx}f(\beta(x),x)-\frac{d\alpha}{dx}f(\alpha(x),x) + \int_{\alpha (x) }^{\beta (x)} \frac{\partial}{\partial x}f(t,x)dt[/tex]
Rispetto all'originale (che trovate nel link) ho cambiato l'ultima derivata, inserendo quella parziale, visto che la funzione che derivo dipende da due variabili: è corretta questa mossa?
In ogni caso, ciò che mi interessa di questa formula è la sua dimostrazione.
Ho osservato che il teorema fondamentale del calcolo integrale (quello che si vede ad Analisi 1) risulta un caso particolare di questa formula ponendo [tex]\alpha(x)[/tex] costante, [tex]\beta(x) = x[/tex] ed eliminando la dipendenza da [tex]x[/tex] della funzione integranda.
In particolare, vorrei delle indicazioni su come procedere per questa dimostrazione, nel senso che vorrei capire innanzitutto quali strumenti matematici servano (riferendosi al metodo più semplice possibile) e come utilizzarli.
Sarò grato a chiunque vorrà cimentarsi assieme a me in questa impresa.
Risposte
Puoi vedere, per esempio, qui:
http://www.ccct.altervista.org/fisica/a ... egrale.pdf
(è il primo link che ho trovato).
http://www.ccct.altervista.org/fisica/a ... egrale.pdf
(è il primo link che ho trovato).
Hai fatto bene col simbolo di derivata parziale. Per la dimostrazione della formula, che è vera, intanto ti consiglio di consultare risorse più attendibili, possibilmente libri. Ad esempio trovi questa dimostrazione sul libro di Marcellini-Sbordone-Fusco Analisi matematica 2.
L'idea è la seguente: definisci una funzione di tre variabili
\[F(x, y, z)=\int_y^z f(t, x)\, dt, \]
e poi applichi la formula per la derivata di funzione composta alla \(F(x, \alpha(x), \beta(x))\). E' un esercizio standard se conosci le basi del calcolo con più variabili.
PS: Ho scritto contemporaneamente a Rigel.
L'idea è la seguente: definisci una funzione di tre variabili
\[F(x, y, z)=\int_y^z f(t, x)\, dt, \]
e poi applichi la formula per la derivata di funzione composta alla \(F(x, \alpha(x), \beta(x))\). E' un esercizio standard se conosci le basi del calcolo con più variabili.
PS: Ho scritto contemporaneamente a Rigel.
Risposta illuminante.
Ma allora il simbolo di derivata parziale lo devo mettere anche all'inizio, vero?
Ma allora il simbolo di derivata parziale lo devo mettere anche all'inizio, vero?
No, perché l'intera funzione integrale dipende solo dalla \(x\).
Allora non ho capito perché serve l'approccio a tre variabili, se di fatto nella formula ce n'è solo una…
Comunque saresti così gentile da scrivermi almeno l'impostazione del calcolo dimostrativo?
Io ho fatto così (e da qui il mio dubbio sulla derivata parziale all'inizio):
[tex]\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\int_y^z f(x,t)dt = \frac{\partial}{\partial x} (G(x, z) - G(x, y))[/tex]
Ma non riesco a proseguire...
Comunque saresti così gentile da scrivermi almeno l'impostazione del calcolo dimostrativo?
Io ho fatto così (e da qui il mio dubbio sulla derivata parziale all'inizio):
[tex]\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\int_y^z f(x,t)dt = \frac{\partial}{\partial x} (G(x, z) - G(x, y))[/tex]
Ma non riesco a proseguire...
Mi riferivo a questa derivata:
\[\frac{d}{dx} F(x, \alpha(x), \beta(x)).\]
Tu invece stai giustamente calcolando
\[\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}, \]
è diverso.
Per quanto riguarda quel passaggio, è sbagliato. Lì devi soltanto scambiare i simboli di derivata e di integrale, operazione che puoi fare se \(f\) è sufficientemente regolare per via di certi teoremi che studierai più avanti.
\[\frac{d}{dx} F(x, \alpha(x), \beta(x)).\]
Tu invece stai giustamente calcolando
\[\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}, \]
è diverso.
Per quanto riguarda quel passaggio, è sbagliato. Lì devi soltanto scambiare i simboli di derivata e di integrale, operazione che puoi fare se \(f\) è sufficientemente regolare per via di certi teoremi che studierai più avanti.
Ho capito di quale proprietà stai parlando… quella che nel mio libro si chiama "derivazione sotto il segno di integrale"...
Tra l'altro non riesco a capire il senso di calcolare le derivate parziali di [tex]F[/tex] anche rispetto a [tex]y[/tex] e a [tex]z [/tex]…
Tra l'altro non riesco a capire il senso di calcolare le derivate parziali di [tex]F[/tex] anche rispetto a [tex]y[/tex] e a [tex]z [/tex]…
Scrivi la formula per la derivata di funzione composta nel caso di \(F(x, \alpha(x), \beta(x))\). Vedrai che salteranno fuori tutte le derivate parziali di \(F\).
Sul mio libro (Bramanti, Pagani, Salsa - "Analisi Matematica 2") c'è questa formula:
Siano [tex]f : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/tex], [tex]g : I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] e supponiamo che la funzione composta [tex]h(\boldsymbol{x_0}) = g(f(\boldsymbol{x_0}))[/tex] sia definita almeno in un intorno [tex]U[/tex] di [tex]\boldsymbol{x_0} \in A[/tex]. Se [tex]f[/tex] è differenziabile in [tex]\boldsymbol{x_0}[/tex] e [tex]g[/tex] è derivabile in [tex]f(\boldsymbol{x_0})[/tex], allora la funzione composta [tex]h = g \circ f : U \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/tex] è differenziabile in [tex]\boldsymbol{x_0}[/tex] e:
[tex]\nabla h(\boldsymbol{x_0}) = g'(f(\boldsymbol{x_0})) \nabla f(\boldsymbol{x_0})[/tex]
Adesso il problema è:
La formula di cui parli è questa? Sennò, di quale formula stai parlando?
Te lo chiedo perché non saprei come applicarla, dato che noi abbiamo le due funzioni invertite, cioè quella a più variabili va applicata per seconda...
Siano [tex]f : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/tex], [tex]g : I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] e supponiamo che la funzione composta [tex]h(\boldsymbol{x_0}) = g(f(\boldsymbol{x_0}))[/tex] sia definita almeno in un intorno [tex]U[/tex] di [tex]\boldsymbol{x_0} \in A[/tex]. Se [tex]f[/tex] è differenziabile in [tex]\boldsymbol{x_0}[/tex] e [tex]g[/tex] è derivabile in [tex]f(\boldsymbol{x_0})[/tex], allora la funzione composta [tex]h = g \circ f : U \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/tex] è differenziabile in [tex]\boldsymbol{x_0}[/tex] e:
[tex]\nabla h(\boldsymbol{x_0}) = g'(f(\boldsymbol{x_0})) \nabla f(\boldsymbol{x_0})[/tex]
Adesso il problema è:
La formula di cui parli è questa? Sennò, di quale formula stai parlando?
Te lo chiedo perché non saprei come applicarla, dato che noi abbiamo le due funzioni invertite, cioè quella a più variabili va applicata per seconda...
Osserva che se hai una funzione del tipo \(h(x):=f\circ g(x)=f(g_1(x),g_2(x),\ldots ,g_N(x))\), ove \(f\in C^1(\mathbb{R}^N;\mathbb{R})\) è una funzion scalare e \(g:=(g_1,\ldots, g_N)\in C^1(\mathbb{R}; \mathbb{R}^N)\) è una funzione vettoriale, allora \(h\in C^1(\mathbb{R})\) e si ha:
\[
\begin{split}
h^\prime (x) &= \langle \nabla f (g(x)),\ g^\prime (x)\rangle \\
&= \sum_{n=1}^N \frac{\partial f}{\partial y_n} (g_1(x),\ldots ,g_N(x))\cdot g_n^\prime (x) \; ,
\end{split}
\]
ove \(\langle \cdot ,\cdot \rangle\) è il prodotto scalare canonico di \(\mathbb{R}^N\).
Nel caso in esame, sei proprio in una situazione del genere.
\[
\begin{split}
h^\prime (x) &= \langle \nabla f (g(x)),\ g^\prime (x)\rangle \\
&= \sum_{n=1}^N \frac{\partial f}{\partial y_n} (g_1(x),\ldots ,g_N(x))\cdot g_n^\prime (x) \; ,
\end{split}
\]
ove \(\langle \cdot ,\cdot \rangle\) è il prodotto scalare canonico di \(\mathbb{R}^N\).
Nel caso in esame, sei proprio in una situazione del genere.
Vi ringrazio dei contributi, rifletterò per conto mio su queste cose e se avrò degli altri dubbi scriverò.
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