Formula equivalente ad un integrale
$I_n = \int_{0}^{1}x^{n}e^{-x}dx$
$I_n$ si puo scrivere anche come:
$I_n = n!(1-\frac{1}{e}\sum_{j=0}^{n}\frac{1}{j!})$, dimostrabile per induzione.
Ho un altro integrale:
$S_{nk} = \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{kx}dx$
Come faccio a trovare una formula simile a quella di prima per questo integrale dove converge [se non sbaglio per k negativo]?
Avete qualche idea?
Grazie
$I_n$ si puo scrivere anche come:
$I_n = n!(1-\frac{1}{e}\sum_{j=0}^{n}\frac{1}{j!})$, dimostrabile per induzione.
Ho un altro integrale:
$S_{nk} = \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{kx}dx$
Come faccio a trovare una formula simile a quella di prima per questo integrale dove converge [se non sbaglio per k negativo]?
Avete qualche idea?
Grazie
Risposte
Non mi sono messo a fare conti, ma è evidente che devi integrare per parti. Se integri per parti in maniera tale da derivare il termine $x^n$, questo scende di grado. Allora può essere che ti ritrovi, per un verso o per un altro, $S_{n-1, k}$ da qualche parte, ovvero una relazione ricorsiva...
Oppure puoi usare il principio di induzione. Se integri per parti $n$ volte, sempre facendo in modo da fare scendere il grado di $x^n$, alla fine $x^n$ sparirà. E quindi ti ritroverai con un integrale calcolabile.
Questa è l'idea base. C'è da fare un po' di lavoro per snocciolarla, però.
Oppure puoi usare il principio di induzione. Se integri per parti $n$ volte, sempre facendo in modo da fare scendere il grado di $x^n$, alla fine $x^n$ sparirà. E quindi ti ritroverai con un integrale calcolabile.
Questa è l'idea base. C'è da fare un po' di lavoro per snocciolarla, però.
Mi pare che la formula che cerchi sia quella della Gamma function, ovvero il fattoriale di un numero qualsiasi...
Per la serie Pensare facile non fa mai male... Basta una buona sostituzione di variabile per ricondurti al risultato precedente.
Ho controllato se $S_kn$ converge:
$S_{nk} = \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{kx}dx$
$S_{nk} = \int_{0}^{1}x^{n}e^{kx}dx + \int_{1}^{\infty}x^{n}e^{kx}dx$. Se entrambi gli integrali convergono $S_{nk}$ converge.
Il primo e' proprio quindi e' converge.
Se ho: $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$ e $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$, tale integrale converge.
Quindi $\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{kx}dx$ deve essere = 0.
se $k<0$: $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{ax}}=0$ (per qualsiasi $a>0$), perche' il denominatore cresce piu in fretta del numeratore.
se $k=0$: $\lim_{x\to\infty}x^{n}e = \infty$.
se $k>0$: $\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{ax} = \infty$ (per qualsiasi $a>0$).
Quindi, per k negative, $S_{nk}$ converge.
$S_{nk} = \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{kx}dx$
$S_{nk} = \int_{0}^{1}x^{n}e^{kx}dx + \int_{1}^{\infty}x^{n}e^{kx}dx$. Se entrambi gli integrali convergono $S_{nk}$ converge.
Il primo e' proprio quindi e' converge.
Se ho: $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$ e $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$, tale integrale converge.
Quindi $\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{kx}dx$ deve essere = 0.
se $k<0$: $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{ax}}=0$ (per qualsiasi $a>0$), perche' il denominatore cresce piu in fretta del numeratore.
se $k=0$: $\lim_{x\to\infty}x^{n}e = \infty$.
se $k>0$: $\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{ax} = \infty$ (per qualsiasi $a>0$).
Quindi, per k negative, $S_{nk}$ converge.
primo passo per cercare di trovare la formula:
$I_{nk} = \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{kx}dx = \frac{e^{kx}}{k}x^n -\frac{n}{k}\int_{0}^{\infty}x^{n-1}e^{kx}dx = \frac{e^{kx}}{k}x^n -\frac{n}{k}I_{n-1k}$
Ho l'impressione di aver scritto qualche bestemmia, ma dopo 20/21 ore analisi ormai vedo formule pure sui muri...
Vado a fumarmi la mia sigaretta in un intervallo aperto, quindi mi faccio una dormitona che tende a infinito.
$I_{nk} = \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{kx}dx = \frac{e^{kx}}{k}x^n -\frac{n}{k}\int_{0}^{\infty}x^{n-1}e^{kx}dx = \frac{e^{kx}}{k}x^n -\frac{n}{k}I_{n-1k}$
Ho l'impressione di aver scritto qualche bestemmia, ma dopo 20/21 ore analisi ormai vedo formule pure sui muri...
Vado a fumarmi la mia sigaretta in un intervallo aperto, quindi mi faccio una dormitona che tende a infinito.
Questa è la strada che era venuta in mente pure a me...ma occhio che hai scritto una paurosa fesseria: dopo la prima uguaglianza hai a sinistra un integrale in $x$, a destra una funzione della $x$...invece devi avere un numero reale!!! Stai più attento. E rileggi il suggerimento di Gugo che è probabilmente la cosa più svelta.
(Comunque integrando per parti si arriva alla soluzione. Ma devi integrare per parti come Dio comanda, non a ca**o come hai fatto tu.)
(Comunque integrando per parti si arriva alla soluzione. Ma devi integrare per parti come Dio comanda, non a ca**o come hai fatto tu.)
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