Formula e dubbio su serie

[gugione]

Ciao a tutti,

mi scuso per il titolo che forse non rende giustizia alla mia richiesta che riguarda un'equazione di ricorrenza (di cui non chiedo la risoluzione).Ho un dubbio (già avuto di recente) che non riesco a risolvere..

$\{(a_(n+1) = \sum_{k=0}^n a_k + n),(a_0 = 0):}$

Il mio problema è $\sum_{k=0}^n a_k$ che se inizio a risolvere l'eq dovrebbe venire $\sum_{k=0}^n \sum_{k=0}^n a_k x^n$ il che non ha senso XD
Ho già avuto questo problema, risolto da un utente del forum...ma non riesco a ricondurlo a questo specifico caso

Ecco il link:

viewtopic.php?f=36&t=145920

Come fare? Come è in generale questa formula? E come diventa nel mio caso?
Vi chiedo gentilmente aiuto in quanto spesso all'esame mi capitano eq. di ricorrenza sotto questa "bizzarra" forma
Grazie

[ciampax]

Ti conviene ragionare in termini di "due" successioni: la prima è quella degli $a_n$, la seconda puoi indicarla come $b_n=\sum_{k=0}^n a_k$. Ora, ovviamente abbiamo le seguenti condizioni
$$a_{n+1}=b_n+n,\qquad a_0=0$$
ma possiamo anche introdurre queste altre
$$b_{n+1}=b_n+a_{n+1}=2b_n+n,\qquad b_0=a_0=0$$
Da qui, dovresti riuscire a capire come calcolare $a_n$.

[Rigel1]

Se poni \(s_n := \sum_{k=0}^n (a_k + 1)\), la relazione di ricorrenza può essere riscritta come
\[
\begin{cases}
s_0 = 1,\\
s_{n+1} = 2 s_n,
\end{cases}
\]
che si risolve facilmente. Dopo ricavi \(a_n\) dalla relazione \(a_n + 1 = s_n - s_{n-1}\), valida per \(n\geq 1\).

Edit: nel frattempo ha risposto ciampax.

[gugione]

scusate ragazzi se rispondo solo ora, ma ho tentato di risolvere l'esercizio così da esprimere i miei eventuali dubbi. Il responso é semplice...non ho capito nel senso che una volta effettuata la sostituzione $b_n = \sum_{k = 0}^n a_k$ posso proseguire normalmente? Nel senso che il mio prof mi ha insegnato che $\sum_{k=0}^(\infty) a_nx^n = f(x)$. Posso considerare la stessa cosa anche bel caso $b_n$? Io ho fatto cosi...ottenendo $1/xf(x) = f(x) + x/(1-x)^2$ io non credo sia sbagliato, ma ho bisogno il vostro responso se quindi questa parte é corretta, lo sarà anche la mia funzione generatrice $f(x) = 1/(1-x) - 2/(1-x)^2 + 1/(1-x)^3$.
Solo che da qui in poi sono un attimo perso perché non so se devo fare sostituzioni o meno per trovare $a_n$.
Spero di non avervi incasinato troppo con le mie idee. Attendo una risposta XD
Grazie

[ciampax]

Ovvio che devi procedere come al solito. Usiamo l'espressione di Rigel che è meno "lunga": se poni $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ e $g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n$ dalla condizione scritta su $s_n$ si ha
$$\frac{1}{x}(g(x)-s_0)=2g(x)\ \Rightarrow\ g(x)=\frac{1}{1-2x}$$
e quindi dall'altra condizione
$$f(x)-a_0+\sum_{n=1}^\infty x^n=g(x)-s_0-x\cdot g(x)$$
e cioè
$$f(x)=-\frac{x}{1-x}+\frac{1-x}{1-2x}-1$$
se non ho sbagliato qualche sostituzione

[gugione]

grazie mille, penso di aver capito. In effetti non ho proprio azzeccato quando ho provato a fare l'esercizio...non mi erano venute in mente queste possibili sostituzioni!!
Grazie ancora, siete stati di grandissimo aiuto