Formula d'integrazione per sostituzione

[bracardi]

nelle formule d'integrazione per sostituzione, si piazza il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana. per quale motivo?

[Sk_Anonymous]

La formula per il cambiamento di variabili,in un
integrale doppio (caso tipico, ma vale anche per
gli integrali multipli), e':
intint(f(x,y)dxdy),D)=+-intint(f(x(u,v),y(u,v))*det(iacobiano)dudv,T)
ponendo f(x,y)=1 si ha:
intint(dxdy),D)=+-intint(det(iacobiano)dudv,T);ovvero:
mis(D)=+-intint(det(iacobiano)dudv,T);
poiche' mis(D) (misura del dominio D) e' positiva,tale deve essere
anche il secondo membro.
Pertanto se lo iacobiano e' negativo, si scegliera' il segno -,se
lo iacobiano e' positivo si scegliera' il segno +.Cio' equivale
a prendere lo iacobiano in valore assoluto.
In quanto precede intint sta per integrale doppio; +- sta per piu' o meno;D e'il dominio di definizione di f(x,y);T il dominio di
definizione nel piano (u,v) di x(u,v) e y(u,v);det sta per determinante;intint(..,D) sta per integrale doppio esteso al dominio D.
Non so se e' questo che volevi sapere;se invece t'interessa la
dimostrazione dell'intera formula puoi consultare un qualunque
testo di analisi 2.
Saluti da karl

[bracardi]

sì grazie per avermi chiarito il perchè del valore assoluto. Poi vorrei capire il perchè si mette lo jacobiano.

[Sk_Anonymous]

Come ti ho scritto, la dimostrazione della formula
la puoi trovare su un qualunque testo di analisi2.
Purtroppo non posso postartela io, come vorrei.
Infatti la dimostrazione e' piuttosto lunga,richiede
vari richiami di analisi e quel che peggio e' zeppa
di simboli (derivate parziali,totali,integrali curvilinei e quant'altro)difficilmente riproducibili sul forum (hai notato
le capriole che ho dovuto fare per scrivere la
prima risposta?).
Se mi riesce cerco di scriverla con qualche editor
matematico e poi te la invio per e-mail.
Saluti da karl.

[bracardi]

no ti ringrazio, non mi serve la dimostrazione della formula, ma un modo intuito per capire il perchè dello jacobiano. il professore a lezione, aveva dato una mezza spiegata, tra l'altro poco chiara, basata, sul fatto che in algebra un triangolo (che chiamo T1) si trova in un determinato spazio metrico, passando poi ad un altro spazio metrico formando un nuovo triangolo che chiamo T2, che ha le coordinate espresse da un a relazione analitica del tipo X1=aX+bY e Y1=cX+dY abbiamo che areaT1=areaT2*|detM|
| a b |
m= | c d |

è poi non ho capito come è saltato allo jacobiano.Non so se ti ho resa bene l'idea, nessuna dimostrazione...GRAZIE!!