Formula di un prodotto
Buonasera a tutti!
Sto cercando di trovare una formula, magari da provare con il principio di induzione, che esprima il prodotto: [tex](1+x)\cdot (1+x^2)\cdot (1+x^4)\cdot \cdots \cdot (1+x^{2n})[/tex].
Avreste qualche idea? Mi servirebbe per calcolare il limite di quel prodotto quando [tex]n\rightarrow +\infty[/tex] e [tex]|x|<1[/tex]. Onestamente non saprei come calcolare in maniera alternativa il limite proposto se non rendendo "più concisa" l'espressione del prodotto...
In attesa di vostri suggerimenti, vi ringrazio anticipatamente per le risposte!
Andrea
Sto cercando di trovare una formula, magari da provare con il principio di induzione, che esprima il prodotto: [tex](1+x)\cdot (1+x^2)\cdot (1+x^4)\cdot \cdots \cdot (1+x^{2n})[/tex].
Avreste qualche idea? Mi servirebbe per calcolare il limite di quel prodotto quando [tex]n\rightarrow +\infty[/tex] e [tex]|x|<1[/tex]. Onestamente non saprei come calcolare in maniera alternativa il limite proposto se non rendendo "più concisa" l'espressione del prodotto...
In attesa di vostri suggerimenti, vi ringrazio anticipatamente per le risposte!
Andrea
Risposte
Non credo che si possa ricavare una formula chiusa semplice per la produttoria.
Però è facile studiare la convergenza della produttoria, usando il logaritmo.
In generale, se hai [tex]$\prod a_n$[/tex] applichi il logaritmo e l'esponenziale ad ogni prodotto parziale e scrivi:
[tex]$\prod_{n=1}^N a_n =\exp \left( \sum_{n=1}^N \ln a_n\right)$[/tex]
sicché tutto sta nel determinare il carattere della serie [tex]$\sum \ln a_n$[/tex].
Nel tuo caso hai la produttoria [tex]$(1+x)\ \prod (1+x^{2n})$[/tex] (il fattore [tex]$1+x$[/tex] l'ho tirato fuori che dava fastidio per via dell'esponente), perciò devi andarti a studiare la convergenza della serie [tex]$\sum \ln (1+x^{2n})$[/tex]. Ovviamente, puoi provare col confronto asintotico.
Tuttavia non è dato sapere a chi converga quella serie.
Se vuoi la mia opinione, non credo sia possibile ricavare un'espressione elementare per la funzione limite della tua produttoria.
P.S.: La OEIS ha una bella pagina dedicata ai coefficienti dello sviluppo di [tex]$\prod_{n=1}^{+\infty} (1+y^n)$[/tex], cui la tua produttoria si riconduce con un'immediato cambiamento di variabile (i.e. [tex]$y=x^2$[/tex]) ed una divisione (per il fattore [tex]$1+x$[/tex]). Quindi potresti spulciare la bibliografia e cercare qualcosa in più...
Però è facile studiare la convergenza della produttoria, usando il logaritmo.
In generale, se hai [tex]$\prod a_n$[/tex] applichi il logaritmo e l'esponenziale ad ogni prodotto parziale e scrivi:
[tex]$\prod_{n=1}^N a_n =\exp \left( \sum_{n=1}^N \ln a_n\right)$[/tex]
sicché tutto sta nel determinare il carattere della serie [tex]$\sum \ln a_n$[/tex].
Nel tuo caso hai la produttoria [tex]$(1+x)\ \prod (1+x^{2n})$[/tex] (il fattore [tex]$1+x$[/tex] l'ho tirato fuori che dava fastidio per via dell'esponente), perciò devi andarti a studiare la convergenza della serie [tex]$\sum \ln (1+x^{2n})$[/tex]. Ovviamente, puoi provare col confronto asintotico.
Tuttavia non è dato sapere a chi converga quella serie.
Se vuoi la mia opinione, non credo sia possibile ricavare un'espressione elementare per la funzione limite della tua produttoria.
P.S.: La OEIS ha una bella pagina dedicata ai coefficienti dello sviluppo di [tex]$\prod_{n=1}^{+\infty} (1+y^n)$[/tex], cui la tua produttoria si riconduce con un'immediato cambiamento di variabile (i.e. [tex]$y=x^2$[/tex]) ed una divisione (per il fattore [tex]$1+x$[/tex]). Quindi potresti spulciare la bibliografia e cercare qualcosa in più...
Concordo con quanto asserito.
Nel mio caso si ottiene:
[tex]\displaystyle (1+x)\prod _{k=1}^{n}(1+x^{2k})=(1+x)e^{\sum_{k=1}^{n}\ln (1+x^{2k})}[/tex].
Tenendo presente che [tex]\displaystyle \ln (1+x^{2k})\sim x^{2k}[/tex] ottengo il limite equivalente il cui argomento è:
[tex]\displaystyle (1+x)e^{\sum_{k=1}^{n}x^{2k}}[/tex].
Ci sono errori sino ad ora?
Nel mio caso si ottiene:
[tex]\displaystyle (1+x)\prod _{k=1}^{n}(1+x^{2k})=(1+x)e^{\sum_{k=1}^{n}\ln (1+x^{2k})}[/tex].
Tenendo presente che [tex]\displaystyle \ln (1+x^{2k})\sim x^{2k}[/tex] ottengo il limite equivalente il cui argomento è:
[tex]\displaystyle (1+x)e^{\sum_{k=1}^{n}x^{2k}}[/tex].
Ci sono errori sino ad ora?
Ovvio che, per il limite fondamentale del logaritmo, quando [tex]$|x|<1$[/tex] si ha:
[tex]$\ln (1+x^{2n}) \approx x^{2n}$[/tex]
ergo [tex]\sum \ln (1+x^{2n})[/tex] converge.
D'altra parte, se [tex]$x>1$[/tex] viene violata la condizione necessaria alla convergenza e perciò la serie è indeterminata.
Quindi [tex]\sum \ln (1+x^{2n})[/tex] converge se e solo se [tex]$x\in ]-1,1[$[/tex].
Tuttavia il valore della somma chissà qual è...
[tex]$\ln (1+x^{2n}) \approx x^{2n}$[/tex]
ergo [tex]\sum \ln (1+x^{2n})[/tex] converge.
D'altra parte, se [tex]$x>1$[/tex] viene violata la condizione necessaria alla convergenza e perciò la serie è indeterminata.
Quindi [tex]\sum \ln (1+x^{2n})[/tex] converge se e solo se [tex]$x\in ]-1,1[$[/tex].
Tuttavia il valore della somma chissà qual è...
Allora come posso calcolare il limite se non ho un valore esatto della somma ma solo informazioni inerenti alla sua convergenza?!
Se il prodotto fosse stato [tex](1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots (1+x^{{2}^{n}})[/tex] sarebbe stato tutto più facile perché molti libri riportano la formula relativa da dimostrare per induzione... e in tal caso otterrei il risultato proposto nel testo da cui ho tratto il limite...
Come la pensate?
Come la pensate?
Andrea non so che dirti... Che testi hai sotto mano?
E' un compito d'esame di Analisi Matematica francese... il limite proposto risulterebbe [tex]\frac{1}{1-x}[/tex]... Non credo che nei nostri testi ci siano cose simili!
Ah-ah!
Allora l'esponente della [tex]$x$[/tex] nella produttoria ha da essere [tex]$2^n$[/tex] e non [tex]$2n$[/tex]...
Infatti per [tex]$N$[/tex] fissato hai:
[tex]$(1-x)\cdot \prod_{n=0}^N (1+x^{2^n}) =(1-x^2)\ \prod_{n=1}^N (1+x^{2^n})$[/tex]
[tex]$=(1-x^4)\ \prod_{n=2}^N (1+x^{2^n})$[/tex]
[tex]$=(1-x^8)\ \prod_{n=3}^N (1+x^{2^n})$[/tex]
[tex]$=\ldots$[/tex]
[tex]$=(1-x^{2^N})\ (1-x^{2^N})$[/tex]
[tex]$=1-x^{2^{N+1}}$[/tex]
sicché, visto che [tex]$|x|<1$[/tex] implica [tex]$x^{2^{N+1}}\to 0$[/tex], trovi:
[tex]$(1-x)\cdot \prod_{n=0}^{+\infty} =\lim_N (1-x)\cdot \prod_{n=0}^N (1+x^{2^n})$[/tex]
[tex]$=\lim_N 1-x^{2^{N+1}}$[/tex]
[tex]$=1$[/tex]
pertanto per [tex]$x\in ]-1,1[$[/tex] è:
[tex]$\prod_{n=0}^{+\infty} (1+x^{2^n}) =\frac{1}{1-x}$[/tex].
Lo stesso procedimento non funziona affatto se l'esponente è [tex]$2n$[/tex]!
Infatti se [tex]$N\geq 3$[/tex], al terzo passaggio ti trovi con un prodotto del tipo:
[tex]$(1-x^8)\ \prod_{n=3}^N (1+x^{2n}) =(1+x^8)\ (1+x^6)\ \prod_{n=4}^N (1+x^{2n})$[/tex]
che non sai come semplificare... Poi ai passaggi successivi succede un macello, perchè i monomi presenti nello sviluppo della produttoria diventano sempre di più.
Allora l'esponente della [tex]$x$[/tex] nella produttoria ha da essere [tex]$2^n$[/tex] e non [tex]$2n$[/tex]...
Infatti per [tex]$N$[/tex] fissato hai:
[tex]$(1-x)\cdot \prod_{n=0}^N (1+x^{2^n}) =(1-x^2)\ \prod_{n=1}^N (1+x^{2^n})$[/tex]
[tex]$=(1-x^4)\ \prod_{n=2}^N (1+x^{2^n})$[/tex]
[tex]$=(1-x^8)\ \prod_{n=3}^N (1+x^{2^n})$[/tex]
[tex]$=\ldots$[/tex]
[tex]$=(1-x^{2^N})\ (1-x^{2^N})$[/tex]
[tex]$=1-x^{2^{N+1}}$[/tex]
sicché, visto che [tex]$|x|<1$[/tex] implica [tex]$x^{2^{N+1}}\to 0$[/tex], trovi:
[tex]$(1-x)\cdot \prod_{n=0}^{+\infty} =\lim_N (1-x)\cdot \prod_{n=0}^N (1+x^{2^n})$[/tex]
[tex]$=\lim_N 1-x^{2^{N+1}}$[/tex]
[tex]$=1$[/tex]
pertanto per [tex]$x\in ]-1,1[$[/tex] è:
[tex]$\prod_{n=0}^{+\infty} (1+x^{2^n}) =\frac{1}{1-x}$[/tex].
Lo stesso procedimento non funziona affatto se l'esponente è [tex]$2n$[/tex]!
Infatti se [tex]$N\geq 3$[/tex], al terzo passaggio ti trovi con un prodotto del tipo:
[tex]$(1-x^8)\ \prod_{n=3}^N (1+x^{2n}) =(1+x^8)\ (1+x^6)\ \prod_{n=4}^N (1+x^{2n})$[/tex]
che non sai come semplificare... Poi ai passaggi successivi succede un macello, perchè i monomi presenti nello sviluppo della produttoria diventano sempre di più.
Esatto! Allora era come supponevo... Io ho sfruttato direttamente la relazione [tex]\displaystyle \prod_{k=0}^{n}(1+x^{{2}^{n}})=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}[/tex], ma in ogni caso i procedimenti sono equivalenti.
Grazie per le risposte!
Andrea
Grazie per le risposte!
Andrea
"Andrea90":
Esatto! Allora era come supponevo...
La supposta è giusta. (cit. Carlo Pedersoli)
"Andrea90":
Io ho sfruttato direttamente la relazione [tex]\displaystyle \prod_{k=0}^{n}(1+x^{{2}^{n}})=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}[/tex], ma in ogni caso i procedimenti sono equivalenti.
Grazie per le risposte!
Relazione che non conoscevo, quindi grazie per averla segnalata. (La posso trovare su qualche libro in particolare?)
Sì... in uno dei testi consigliati qui nel forum: De Michele - Forti, Analisi Matematica. Problemi ed esercizi, pag. 25... 
A proposito, sapresti consigliarmi qualche testo di esercizi destinati all'approfondimento personale? Mi interesserebbero questioni originali ed esercizi non standard tipo quello proposto in questa sede, per indenderci...
A proposito, sapresti consigliarmi qualche testo di esercizi destinati all'approfondimento personale? Mi interesserebbero questioni originali ed esercizi non standard tipo quello proposto in questa sede, per indenderci...
Un testo carino e pieno di esercizi tipo "trovare un controesempio a questo e quest'altro" (con soluzioni!) è Gelbaum-Olmsted, Counterexamples in Analysis, Dover.
Altri libri che sembrano buoni (stando agli indici ed all'editore) sono i tre tomi di Kaczor & Nowak, Problems in Mathematical Analysis, voll. I-II-III, AMS.
Altri libri che sembrano buoni (stando agli indici ed all'editore) sono i tre tomi di Kaczor & Nowak, Problems in Mathematical Analysis, voll. I-II-III, AMS.
Ti ringrazio per le segnalazioni!
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