Formula di Taylor per trovare punti di massimo/minimo di una funzione a due variabili

[paolodocet]

Buonasera a tutti.
Vi prego di avere pazienza a leggere il post. Può sembrare lungo, ma ho cercato di essere quanto più chiaro possibile.

Vorrei sapere se, ciò che ho scritto è lecito nell'uso della formula di Taylor per il calcolo dei punti di massimo e minimo.(più precisamente, nel calcolo della matrice Hessiana in un punto critico dalla quale poi, si riesce a determinare il tipo di punto[massimo/minimo/sella])

Consideriamo:

1. una funzione $f: A rightarrow R $ con $ A subseteq R^2$ di classe $C^2$
2. un punto $Q(x_0,y_0) in A$
[/list:u:1ltn4tti]

Definiamo il polinomio di Taylor $P_2$ nel punto $Q(x_0,y_0)$ arrestato al secondo ordine, come la migliore funzione di ordine 2 che approssima la funzione $f$ in un intorno di $(x_0,y_0)$ (non vi spaventate, è solo la formula di Taylor arrestata al secondo ordine):

$P_(2_((x_0,y_0))) (x,y) =
f(x_0,y_0) + f_(x) (x_0,y_0)(x-x_0) + f_(y) (x_0,y_0)(y-y_0) + 1/2 * (f_(x x) (x_0,y_0)(x-x_0)^2 + (f_(y y) (x_0,y_0)(y-y_0)^2 + 2 f_(xy) (x_0,y_0) * (x-x_0) * (y-y_0))$

Ora introducendo il concetto di gradiente $nabla$ e di matrice Hessiana $H_f$ la scrittura del polinomio sopra, si semplifica parecchio:

$P_(2_((x_0,y_0))) (x,y) = f(x_0,y_0) + nabla(x_0,y_0) *((x-x_0),(y-y_0)) + (x-x_0, y-y_0) * H_(f) (x_0,y_0) * ((x-x_0),(y-y_0)) $

dove:


$nabla(x_0,y_0) = (f_x (x_0,y_0), f_y (x_0,y_0))$, il vettore riga che ha come componenti le derivate parziali prime.


$H_(f) (x_0,y_0) = ((f_(x x) (x_0,y_0) f_(xy) (x_0,y_0)),(f_(xy) (x_0,y_0)f_(yy ) (x_0,y_0))) $, la matrice Hessiana simmetrica delle derivate parziali seconde.

Ora la mia domanda è la seguente:
arrestando il polinomio di Taylor al secondo ordine, i termini di grado 2 che compaiono in $P_2$ mi danno una forma quadratica, un polinomio (nel mio caso a due variabili) con tutti i termini di grado 2.

Prendendo questa forma quadratica e costruendo la sua matrice corrispondente, come detto prima, si ottiene esattamente la matrice Hessiana. Supponendo il punto $Q(x_0, y_0)$ stazionario, ossia con gradiente nullo, posso dire che facendo il polinomio di Taylor arrestato al secondo ordine, riesco ad ottenere la matrice Hessiana della funzione in un punto supposto stazionario?

Grazie a chi dedicherà un momento per la mia domanda. Intanto vi auguro buona serata. Ciao.

[ciampax]

Mi pare tautologico, non credi? Praticamente è quella che hai scritto la definizione di Hessiana.