Formula di Taylor ed applicazione

[Mr.Mazzarr]

Ho alcuni dubbi sull'utilizzo della formula di Taylor, tra cui anche lo svolgimento di un esercizio che metto però sotto Spoiler:

- Il grado a cui devo fermarmi in base a cosa posso sceglierlo? So che non c'è una regola prescritta, ma c'è qualche modo per capire a volo, appena vedo il testo dell'esercizio, su che gradi devo orientarmi?

- Il grado dell'infinitesimo è tanto rilevante? Perchè non ho ben capito che esponente devo dare, perchè rispetto le serie notevoli prese da internet e dal libro ma poi quando incontro limiti al quadrato non mi trovo ed in quel caso credo conti abbastanza.

Poi..

Ho:

$((senx)^2 -x^2)/((arctgx)^2 - (log(1+x))^2)$

Applico Taylor usando le formule notevoli di McLaurin, fermandomi sempre al 2° grado:

$((x - x^3/3! +o(x^4))^2 -x^2)/((x - x^3/3 + o(x^6))^2 - (x - x^2/2 + o(x^2))^2)$

Ora ho dei quadrati di trinomi. La formula del quadrato di trinomio è $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
Il problema è ora, sia nel fatto che non sono sicuro di aver usato bene l'infinitesimo sia nel passaggio successivo, quando devo capire cosa prendere del risultato del quadrato. A me viene:

$x^2 + X^6/36 + o(x^8) + 2xo(x^4) - x^4/3 - x^3/3 o(x^4)$

Il mio ragionamento di base è di prendere i primi 2 gradi del polinomio che ho, così da '' rispettare '' l'idea iniziale di fermarmi ai primi due gradi.

[Mr.Mazzarr]

Essendo passati quasi 4 giorni credo che io possa uppare il topic.

[Noisemaker]

mi sa che ti sei perso nel calcolo dei doppi prodotti ...

[Obidream]

Per il numeratore credo tu possa procedere in questo modo ( al denominatore è analogo):

$(sin(x))^2-x^2$

E' evidente che fermandoci al primo ordine non concludiamo nulla quindi passiamo all'ordine successivo

$(x-x^3/6+o(x^3))^2-x^2$

$x^2+x^6/36+o(x^6)-1/3x^4+o(x^4)+o(x^6)-x^2$


$-1/3x^4+o(x^4)$

Tutti gli altri termini di ordine superiore sono $o(x^4)$


Tieni presente che quando hai una costante moltiplicativa davanti all'o-piccolo questa non influisce quindi nel tuo caso anche se facendo i conti dovesse venirti $-2o(x^7)$ tu puoi benissimo scrivere $+o(x^7)$

Mentre con le potenze ci si comporta così $x^\alpha*o(x^\beta)=o(x^(\alpha+\beta))$

[Mr.Mazzarr]

Ah ecco. Comunque alla fine non credo che io debba riscrivere tutto il polinomio al quadrato.
Considerando che sto lavorando con gli infinitesimi, mi posso limitare a prendere i gradi che voglio. O meglio, i gradi che rispettino un rapporto determinato dalla scelta iniziale fatta al momento del cambio con il polinomio di Taylor.

[Noisemaker]

prova a fare lo sviluppo del denominatore ...