Formula di Taylor: differenza tra resto di Peano e Lagrange
Ciao, a lezione è stata presentata la formula di Taylor con resto di Peano e Lagrange con i termini o-piccolo e O-grande. Con il resto di Peano è stata scritta la formula
\[
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n), x\rightarrow x_0
\]
con $f(x)$ derivabile n volte in $x_0$ mentre per quella con resto di Lagrange è stata scritta la formula
\[
f(x)=f(x_0)+...+O((x-x_0)^{n+1})
\]
Che termine c'è prima di O-grande? Inoltre nella dimostrazione di quest'ultima forma viene posta l'ipotesi che $f^{(n+1)}(x)$ sia limitata in un intorno di $x_0$. Significa che devo aspettarmi una funzione goniometrica per esempio?
\[
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n), x\rightarrow x_0
\]
con $f(x)$ derivabile n volte in $x_0$ mentre per quella con resto di Lagrange è stata scritta la formula
\[
f(x)=f(x_0)+...+O((x-x_0)^{n+1})
\]
Che termine c'è prima di O-grande? Inoltre nella dimostrazione di quest'ultima forma viene posta l'ipotesi che $f^{(n+1)}(x)$ sia limitata in un intorno di $x_0$. Significa che devo aspettarmi una funzione goniometrica per esempio?
Risposte
Nessuna funzione goniometrica. Se \(f\) è derivabile \(n\) volte, hai la formula con l'o-piccolo. Se invece è derivabile una volta in più e l'ultima derivata è limitata, hai quasi la stessa formula, ma puoi rimpiazzare l'o-piccolo con l'O-grande. Ottieni così una formula più forte; infatti, un O-grande di \(x^{n+1}\) per \(x\to 0\) è anche un o-piccolo di \(x^n\), ma non è vero il viceversa.
OK grazie
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