Formula di Taylor con resto di Peano (dimostrazione)
Sto parlando della formula di ordine 2, l'orale di analisi si avvicina, e ho alcuni dubbi che mi tormentano, allora partiamo:
Devo dimostrare che data
$f(x):(a,b)->RR, x_0in(a,b), EE f^I(x_o), EE f^(II)(x_0)$
allora $EE!$ polinomio $T_2=T_2(x)$ di grado $<=2$ tale che
$f(x)=T_2(x) + o((x-x_0)^2)$ per $x->x_0$ e $T_2(x)=f(x_o) + f^(I)(x_0)(x-x_0) + ((f^(II)(x_0))/(2!))(x-x_0)^2$
Quindi passando alla dimostrazione:
Se $f(x)=T_2(x) + o((x-x_0)^2)$ per $x->x_0$ allora
$lim_(x->x_0)((f(x)-T_2(x))/((x-x_0)^2))=0$ (che è ciò che devo dimostrare in pratica)
Sviluppo quindi il limite:
$lim_(x->x_0)((f(x)-f(x_o) - f^(I)(x_0)(x-x_0) - ((f^(II)(x_0))/(2!))(x-x_0)^2)/((x-x_0)^2))$
Si tratta di una forma indeterminata del tipo $0/0$ quindi uso De L'Hopital, derivando tutto, qui inizia il pezzo che non capisco, ovvero, non mi trovo con la derivazione:
$lim_(x->x_0)(f^(I)(x)-f^I(x_0)-f^(II)(x_0)(x-x_0))/(2(x-x_0))$
Il passaggio successivo poi lo capisco (ne manca solo uno per dimostrare il teorema)
Solo non riesco a capire da dove vengono $-f^I(x_0)-f^(II)(x_0)(x-x_0)$ sono le derivate di cosa? Dovrebbero essere le derivate di $-f(x_o) - f^(I)(x_0)(x-x_0)$ ma queste ultime non sono costanti? Di conseguenza le loro derivate dovrebbero essere $=0$
Per esempio $((f^(II)(x_0))/(2!))(x-x_0)^2)$ sparisce, dato che è una costante...
Questo dovrebbe essere tutto, mi sono dilungato un pò troppo! Grazie per le risposte (spero che ce ne siano, dato che scrivere tutta sta roba è lungo, anche se è divertente :-D)
Devo dimostrare che data
$f(x):(a,b)->RR, x_0in(a,b), EE f^I(x_o), EE f^(II)(x_0)$
allora $EE!$ polinomio $T_2=T_2(x)$ di grado $<=2$ tale che
$f(x)=T_2(x) + o((x-x_0)^2)$ per $x->x_0$ e $T_2(x)=f(x_o) + f^(I)(x_0)(x-x_0) + ((f^(II)(x_0))/(2!))(x-x_0)^2$
Quindi passando alla dimostrazione:
Se $f(x)=T_2(x) + o((x-x_0)^2)$ per $x->x_0$ allora
$lim_(x->x_0)((f(x)-T_2(x))/((x-x_0)^2))=0$ (che è ciò che devo dimostrare in pratica)
Sviluppo quindi il limite:
$lim_(x->x_0)((f(x)-f(x_o) - f^(I)(x_0)(x-x_0) - ((f^(II)(x_0))/(2!))(x-x_0)^2)/((x-x_0)^2))$
Si tratta di una forma indeterminata del tipo $0/0$ quindi uso De L'Hopital, derivando tutto, qui inizia il pezzo che non capisco, ovvero, non mi trovo con la derivazione:
$lim_(x->x_0)(f^(I)(x)-f^I(x_0)-f^(II)(x_0)(x-x_0))/(2(x-x_0))$
Il passaggio successivo poi lo capisco (ne manca solo uno per dimostrare il teorema)
Solo non riesco a capire da dove vengono $-f^I(x_0)-f^(II)(x_0)(x-x_0)$ sono le derivate di cosa? Dovrebbero essere le derivate di $-f(x_o) - f^(I)(x_0)(x-x_0)$ ma queste ultime non sono costanti? Di conseguenza le loro derivate dovrebbero essere $=0$
Per esempio $((f^(II)(x_0))/(2!))(x-x_0)^2)$ sparisce, dato che è una costante...
Questo dovrebbe essere tutto, mi sono dilungato un pò troppo! Grazie per le risposte (spero che ce ne siano, dato che scrivere tutta sta roba è lungo, anche se è divertente :-D)
Risposte
Occhio.
$f^('') (x_0)$ è costante, vero.
Ma sei sicuro che anche
$(f^('')(x_0))/2(x-x_0)^2$ sia una costante? C'è una $x$ dentro la parentesi...
$f^('') (x_0)$ è costante, vero.
Ma sei sicuro che anche
$(f^('')(x_0))/2(x-x_0)^2$ sia una costante? C'è una $x$ dentro la parentesi...
aaaah, forse ci sono!
Quindi avevo interpretato male le derivate, non riesco però a collocare ogni funzione alla rispettiva derivata, mi aiuti?
Ho capito che "butto via" $-f(x_0)$, ma le altre?
$f'(x_0)(x-x_0)$ e $((f''(x_0))/2)(x-x_0)^2$ ?
Quindi avevo interpretato male le derivate, non riesco però a collocare ogni funzione alla rispettiva derivata, mi aiuti?
Ho capito che "butto via" $-f(x_0)$, ma le altre?
$f'(x_0)(x-x_0)$ e $((f''(x_0))/2)(x-x_0)^2$ ?
Sì, esatto, $f(x_0)$ sparisce perchè è costante. Per le altre facciamo così:
$f'(x_0)(x-x_0)=f'(x_0)x-f'(x_0)$
Il primo termine è del tipo $ax$ ($a$ costante), quindi la sua derivata è $a$, nel nostro caso $f'(x_0)$. Il secondo termine, invece, sparisce di nuovo perchè una costante.
Prova a ragionare nello stesso modo per il secondo: se ci riesci derivando "al volo" la funzione composta; altrimenti, sviluppa pure il quadrato e poi deriva addendo per addendo.
$f'(x_0)(x-x_0)=f'(x_0)x-f'(x_0)$
Il primo termine è del tipo $ax$ ($a$ costante), quindi la sua derivata è $a$, nel nostro caso $f'(x_0)$. Il secondo termine, invece, sparisce di nuovo perchè una costante.
Prova a ragionare nello stesso modo per il secondo: se ci riesci derivando "al volo" la funzione composta; altrimenti, sviluppa pure il quadrato e poi deriva addendo per addendo.
Perfetto ho fatto i calcoli e torna tutto! Ci ho messo un pò perchè mi ero dimenticato di sviluppare il quadrato, grazie!
Figurati, è stato un piacere.
In bocca al lupo per il tuo orale.
In bocca al lupo per il tuo orale.
Crepi 
(tra l'altro orale di analisi e scritto di algebra lo stesso giorno -.- )
(tra l'altro orale di analisi e scritto di algebra lo stesso giorno -.- )
salve... nn e' che mi spieghereste i passaggi successivi per concludere il teorema?
arrivo fino alla fine... trovo il nuovo limite applicando hopital... ma poi? come concludo?
penso che dovrei trovare il numeratore di grado infinitesimo superiore al denominatore....
ma io sostituirei X con X0 e quindi mi verrebbe x/x stesso grado....
cosa sbaglio?
grazie in anticipo!
arrivo fino alla fine... trovo il nuovo limite applicando hopital... ma poi? come concludo?
penso che dovrei trovare il numeratore di grado infinitesimo superiore al denominatore....
ma io sostituirei X con X0 e quindi mi verrebbe x/x stesso grado....
cosa sbaglio?
grazie in anticipo!
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