Formula di Taylor col resto di Lagrange e col resto di Peano
Vorrei sapere cosa ci dà in più il teorema di Taylor col resto di Lagrange rispetto al già dimstrato precedentemente teorema di Taylor col resto di Peano.
La formula è la stessa:
$f(x)= f(x_0)+\sum_{k=0}^n (f^((k))(x_0))/k! (x-x_0)^k +...$
Al posto dei puntini, Peano mette un $o(x-x_0)^n$, cioè, afferma il teorema col resto di Peano, il mio polinomio di grado n differisce dalla mia funzione per un o piccolo di $(x-x_0)^n$
Lagrange invece al posto dei puntini afferma che esiste un $\xi$ tale che posso aggiungere $(f^((n+1))(\xi))/(n!)$.
Quello che vorrei cercare di capire è:
La formulazione di Peano è equivalente a quella di Lagrange?
Sono due risultati indipendenti o uno viene dall'altro?
Cosa ci dà in più "Lagrange" rispetto a "Peano"?
Perchè a me sta sembrando solo una ripetizione dello stesso identico teorema due volte...
Grazie in anticipo
La formula è la stessa:
$f(x)= f(x_0)+\sum_{k=0}^n (f^((k))(x_0))/k! (x-x_0)^k +...$
Al posto dei puntini, Peano mette un $o(x-x_0)^n$, cioè, afferma il teorema col resto di Peano, il mio polinomio di grado n differisce dalla mia funzione per un o piccolo di $(x-x_0)^n$
Lagrange invece al posto dei puntini afferma che esiste un $\xi$ tale che posso aggiungere $(f^((n+1))(\xi))/(n!)$.
Quello che vorrei cercare di capire è:
La formulazione di Peano è equivalente a quella di Lagrange?
Sono due risultati indipendenti o uno viene dall'altro?
Cosa ci dà in più "Lagrange" rispetto a "Peano"?
Perchè a me sta sembrando solo una ripetizione dello stesso identico teorema due volte...
Grazie in anticipo
Risposte
Se non ricordo male, la formula col resto secondo Lagrange ti permette di stimare l'errore commesso nell'approssimazione.
Sul primo volume del bramanti-pagani-salsa pag 218 capitolo 4 la questione è affrontata.
Scaricatelo e leggila da lì.
Sul primo volume del bramanti-pagani-salsa pag 218 capitolo 4 la questione è affrontata.
Scaricatelo e leggila da lì.
il resto di lagrange ti dice che il tuo errore è minore di un certo valore non ti permette però di stimarlo,e questo valore viene della derivata n+1 esima della funzione
no a dire il vero mi sembrerebbe peano che parla di un semplice "opiccolo" di $(x-x_0)^n$...senza specificare molto...però ripeto...lagrange non sembra che ci aggiungi molto...
Basta scrivere in parallelo i due enunciati per rendersi conto delle differenze.
Innanzitutto, se \(f:]a,b[\to \mathbb{R}\) è \(N\) volte derivabile in \(x_0\in ]a,b[\) poniamo:
\[
\begin{split}
P_N(x_0;x) &:= \sum_{n=0}^N \frac{1}{n!}\ f^{(n)}(x_0)\ (x-x_0)^n\\
R_N(x_0;x) &:= f(x) - P_N(x_0;x)
\end{split}
\]
cosicché:
\[
\tag{1} f(x)=P_N(x_0;x) + R_N(x_0;x)
\]
Il polinomio \(P_N(x_0;x)\) è il polinomio di Taylor d'ordine \(N\) relativo ad \(f\) centrato in \(x_0\) ed \(R_N(x_0;x)\) è il cosiddetto termine complementare, o resto, della formula di Taylor (1).
Ora, il teorema di Peano afferma che:
mentre il teorema di Lagrange afferma che:
Quindi, mentre il teorema di Peano ti fornisce solo indicazioni sul comportamento asintotico di \(R_N(x_0;x)\) quando \(x\to x_0\), il teorema di Lagrange ti consente di esprimere esplicitamente il termine complementare sotto ulteriori ipotesi di regolarità.
Innanzitutto, se \(f:]a,b[\to \mathbb{R}\) è \(N\) volte derivabile in \(x_0\in ]a,b[\) poniamo:
\[
\begin{split}
P_N(x_0;x) &:= \sum_{n=0}^N \frac{1}{n!}\ f^{(n)}(x_0)\ (x-x_0)^n\\
R_N(x_0;x) &:= f(x) - P_N(x_0;x)
\end{split}
\]
cosicché:
\[
\tag{1} f(x)=P_N(x_0;x) + R_N(x_0;x)
\]
Il polinomio \(P_N(x_0;x)\) è il polinomio di Taylor d'ordine \(N\) relativo ad \(f\) centrato in \(x_0\) ed \(R_N(x_0;x)\) è il cosiddetto termine complementare, o resto, della formula di Taylor (1).
Ora, il teorema di Peano afferma che:
Siano \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\in ]a,b[\).
Se \(f\) è derivabile \(N-1\) volte in \(]a,b[\) ed \(N\) volte in \(x_0\), allora il resto della formula di Taylor (1) è un infinitesimo d'ordine superiore a \((x-x_0)^N\) in \(x_0\), i.e.:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{R_N(x_0;x)}{(x-x_0)^N} =0\; .
\]
mentre il teorema di Lagrange afferma che:
Siano \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\in ]a,b[\).
Se \(f\) è derivabile \(N\) volte in \(]a,b[\) con derivata \(N\)-esima continua in \(]a,b[\) e derivabile \(N+1\) volte in \(]a,b[\setminus \{x_0\}\), allora per ogni \(x \in ]a,b[\setminus \{x_0\}\) esiste un punto \(\xi=\xi_x \in ]\min \{x_0,x\}, \max \{x_0,x\}[\) tale che:
\[
R_N(x_0;x)=\frac{1}{(N+1)!}\ f^{(N+1)}(\xi)\ (x-x_0)^{N+1}\; .
\]
Quindi, mentre il teorema di Peano ti fornisce solo indicazioni sul comportamento asintotico di \(R_N(x_0;x)\) quando \(x\to x_0\), il teorema di Lagrange ti consente di esprimere esplicitamente il termine complementare sotto ulteriori ipotesi di regolarità.
quindi sotto le ipotesi di Lagrange sarei in grado di scrivere la funzione ESATTAMENTE in forma di polinomio di Taylor, a patto di trovare quel $\xi$?
Se la risposta è "si", come lo trovo questo $\xi$?
Se la risposta è "si", come lo trovo questo $\xi$?
Di solito non c'è bisogno di determinare \(\xi\) esplicitamente (per i Matematici l'importante è che tale punto esista; il saperlo calcolare non aiuta quasi mai).
Inoltre, il teorema di Lagrange viene molto utile quando la funzione \(f\) è ancora più regolare dei requisiti minimi richiesti per la validità dell'enunciato.
Infatti, se \(f\) ha derivata \(N+1\) limitata in tutto \(]a,b[\), allora è chiaro che vale la seguente stima esplicita del termine complementare:
\[
|R_N(x_0;x)| \leq \frac{1}{(N+1)!}\ \sup_{]a,b[} \Big|f^{(N+1)}\Big|\ |x-x_0|^{N+1}
\]
per ogni \(x\in [a,b]\); ed in particolare, se \(f^{(N+1)}\) è continua in \([a,b]\), allora la stima diventa:
\[
|R_N(x_0;x)| \leq \frac{1}{(N+1)!}\ \max_{[a,b]} \Big|f^{(N+1)}\Big|\ |x-x_0|^{N+1}\; .
\]
Nota che tali stime concordano perfettamente col teorema di Peano.
Inoltre, il teorema di Lagrange viene molto utile quando la funzione \(f\) è ancora più regolare dei requisiti minimi richiesti per la validità dell'enunciato.
Infatti, se \(f\) ha derivata \(N+1\) limitata in tutto \(]a,b[\), allora è chiaro che vale la seguente stima esplicita del termine complementare:
\[
|R_N(x_0;x)| \leq \frac{1}{(N+1)!}\ \sup_{]a,b[} \Big|f^{(N+1)}\Big|\ |x-x_0|^{N+1}
\]
per ogni \(x\in [a,b]\); ed in particolare, se \(f^{(N+1)}\) è continua in \([a,b]\), allora la stima diventa:
\[
|R_N(x_0;x)| \leq \frac{1}{(N+1)!}\ \max_{[a,b]} \Big|f^{(N+1)}\Big|\ |x-x_0|^{N+1}\; .
\]
Nota che tali stime concordano perfettamente col teorema di Peano.
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