Formula di Taylor

[Linux1987]

Supponiamo di avere un certo valore x e descrivere una funzione f in un intorno di x, abbiamo che
$ f(x+c)=f(x)+c*f'(x)+c^2/2*f''(x)+O(|c|^3) $
chi mi spiega l'ultimo termine ?

c è lo spostamento da x , al variare di c otteniamo tutti i valori della f nell'intorno di x.
Che significa quindi che $ f(x+c)- [c*f'(x)+c^2/2*f''(x)]=O(|c|^3) $ ?

[Principe2]

Prima di tutto osserva che l'uguaglianza
$f(x+c)=f(x)+cf'(x)+\frac{c^2}{2}f''(x)$
non puo' essere vera per una generica $f$ in quanto a primo membro hai qualcosa appunto di generico mentre a secondo membro hai un polinomi. Per cui ci sara' un "errore". Questo errore si denota con $O(|c|^3)$ per mettere in risalto che e' una quantita' molto piccola, nel seguente senso:
$\lim_{c\to0}\frac{O(|c|^3)}{c^2}=0$
Dunque l'errore non lo conosciamo con precisione, ma sappiamo che tende a zero piuttosto velocemente, quindi e' piccolo e in molti casi di interesse per le applicazioni e' trascurabile.

[Linux1987]

Scusi ma non ho capito, il resto nella forma di taylor di secondo ordine è espresso come $ o(c^2) $ , che differenza c'è con $ O(|c|^3) $ . Dire che il resto è $ o(c^2) $ significa che tende a 0 molto più velocemente di $ (c^2) $ dove c è lo spostamento da x. Ma dire che qualcosa è $ O(c^3) $ significa dire che la quantità $ c^3 $ tende a 0 più rapidamente di
$ f(x+c)-[f(x)+c*f'(x)+c^2/2f''(x)] $ giusto? Di conseguenza l' errore che si commette nell'approssimare $ f(x+c) $ con $[f(x)+c*f'(x)+c^2/2f''(x)] $ tende a zero più lentamente di di $c^3$ e quindi di conseguenza dire che l'errore è $ O(c^3) $ equivale a dire che va a 0 più lentamente di $ c^3 $ ? grazie in anticipo

[Principe2]

Dunque, premetto che in un certo senso hai ragione, dal momento che la notazione piu' comune fa uso dell'o piccolo e non dell'O grande. Tuttavia, non c'e' niente di sbagliato, in quanto le due notazioni sono coerenti.

Per vederlo, ricorda che una funzione $f(c)$ e' detta essere $O(g(c))$ in un intorno di $x$ esiste una costante $K$ tale che nello stesso intorno si abbia
$\frac{f(c)}{g(c)}\leq K$
Se ora ti ricordi la formula rel resto di Taylor, ti accorgi che il resto del polinomio di Taylor di ordine due e' $O(|c|^3)$ - ovviamente sotto le opportune ipotesi di esistenza e continuita' della derivata terza.

Spero che ora sia un po' piu' chiaro.

[Linux1987]

mmm certo mi è chiaro , possiamo dire che è un abuso di notazione, per rendere evidente l'idea di come l'errore decresca in modo proporzionale a $ c^q $ dove $2

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[Principe2]

No, perche' potrebbe anche andare a zero piu' velocemente di $c^3$: pensa ad un polinomio di secondo grado, in cui il resto di ordine tre e' identicamente nullo.

[Linux1987]

ma un resto identicamente nullo andrebbe a significare che ci debba essere un resto di $ O(c^4) $ ? cioè dire che $ R(x)=f(x+c)-[f(x)+c*f'(x)+c^2/2 *f''(x)] $
è $ O(c^3) $ significa dire che $ c^3 $ tende a zero più velocemente di R(x) , ma se $ O(c^3) $ è nullo significa dire che R(x) è un infinitesimo di ordine superiore a $ c^3 $ e di conseguneza va più veloce di $ c^3 $ . giusto? Se non è così cosa mi sfugge? la ringrazio in anticipo

[Principe2]

Dire che il resto e' $O(c^3)$ significa che va a zero velocemente ALMENO quando $c^p$, per qualunque $p<3$. Cio' non esclude che puo' andare a zero molto piu' velocemente, piu' di $c^4$ o $c^4$ eccetera.

[Linux1987]

"Valerio Capraro":
Per vederlo, ricorda che una funzione $f(c)$ e' detta essere $O(g(c))$ in un intorno di $x$ esiste una costante $K$ tale che nello stesso intorno si abbia
$\frac{f(c)}{g(c)}\leq K$
Se ora ti ricordi la formula rel resto di Taylor, ti accorgi che il resto del polinomio di Taylor di ordine due e' $O(|c|^3)$ - ovviamente sotto le opportune ipotesi di esistenza e continuita' della derivata terza.

Spero che ora sia un po' piu' chiaro.

Il resto del polinomio di Taylor di ordine 2 secondo Peano è espresso come un $ o(c^2) $ ovvero va a 0 più velocemente di $ c^2 $ , se dico però che è $ O(c^3) $ sto dicendo che la mia funzione resto, non supera il grafico di $ c^3 $, di conseguenza come posso dire che vado a 0 più velocemente di $ c^3 $ ? è questo che non mi è chiaro !! grazie ancora !! inoltre se è più veloce di $ c^3$ avrei potuto mettere un qualsiasi $O(c^k)$ con k>2

[Principe2]

Guarda la definizione. Se $f(c)$ e' identicamente nulla, allora certamente $\frac{f(c)}{c^3}\leq K$, quindi la funzione nulla e' un $O(c^3)$.

Non puoi mettere $O(c^k)$ perche' non e' vero in generale: non mischiare un esempio specifico (quello in cui pe caso ti viene resto nullo), con quello generale, in cui non sai niente e l'unica cosa che puoi dire dal teorema di Peano e quella che hai detto.

[Linux1987]

Mi dispiace ma l'ultima risposta non l'ho capita : se f(c) è identicamente nulla allora sarà limitata superiormente da c^3, ma potrebbe esserlo anche da c^4, la funzione identicamente nulla è quella che vale 0 per ogni c in questo caso, quindi f(c) è sia O(c^4) che O(c^3). giusto? Poi il resto non ho capito a cosa ti riferisci. Mi dispiace. ma secondo me o mi manca qualke nozione o c'è qualcosa che mi sfugge. ti ringrazio per l'aiuto

[Linux1987]

Proviamo così : dire che il resto è $ o(c^2) $ equivale a dire che va più veloce di $ c^2 $ di conseguenza sarà limitato superiormente almeno da $ c^3 $, giusto? però non posso dire che va a zero non più velocemente di $ c^3 $ perchè potrebbe andare a 0 anche più velocemente di $c^3$. giusto ? Se si di questo ultimo punto non ho capito il perchè!? Se $ f(n)=O(g(n)) $ allora la funzione $ g(n)$ domina su $ f(n)$, di conseguenza come può $ f(n)$ andare a zero più velocemente di g(n) ??
Inoltre se $ f=O(g)$ e $ g=O(h) $ ---> allora $ f=O(h) $ quindi se $ R(x)=O(c^3) $ e $ c^3=O(c^4) $ allora $ R(x)=O(c^4)$, ovvero si trova al di sotto di $c^4$ ma sta anche sotto a $c^3$ , quindi come puo andare piu velocemente di $ c^3$ , spero di essermi spiegato!!

[Linux1987]

mmmmmmmmmm forse ho capito, R(x)=a qualcosa - un polinomio di secondo grado , quindi possiamo dire che certamente è O(c^3) ovvero o(c^2) ma non possiamo dire altro!! è esatto? Perchè non sappiamo cosa sia quel qualcosa

[Principe2]

ti faccio notare che se una funzione $f$ va a zero piu' velocemente di $g$, allora graficamente $f$ sta SOTTO $g$.

Forse e' questo che ti stava fuorviando, visto che pensaviche dovesse stare sopra, ma ti stai confondendo con l'andare all'infinito.

[Linux1987]

"Valerio Capraro":ti faccio notare che se una funzione $f$ va a zero piu' velocemente di $g$, allora graficamente $f$ sta SOTTO $g$.

Forse e' questo che ti stava fuorviando, visto che pensaviche dovesse stare sopra, ma ti stai confondendo con l'andare all'infinito.

Infatti,però a questo punto non mi ritorna una cosa, se f sta sotto g e g sta sotto h, allora f sta sotto h, quindi va a 0 più velocemente di h, di conseguenza poichè c^3=O(c^k) per k>3 allora la nostra f =O(c^k), ma tu mi hai detto di no .

inoltre

mmmmmmmmmm forse ho capito, R(x)=a qualcosa - un polinomio di secondo grado , quindi possiamo dire che certamente è O(c^3) ovvero o(c^2) ma non possiamo dire altro!! è esatto? Perchè non sappiamo cosa sia quel qualcosa

E'esatto?

[Principe2]

Senti, nel tuo "linguaggio", se $k>3$, allora $c^k$ sta sotto $c^3$ (per $c$ vicino a $0$, ovviamente, e precisamente per $|c|<1$).

E' tutto coerente, non c'e' nessun errore. Probabilmente ti devi solo chiarire di piu' alcuni concetti, come ad esempio come e' fatto il grafico delle funzioni elementari.

[Linux1987]

"Valerio Capraro":Dire che il resto e' $O(c^3)$ significa che va a zero velocemente ALMENO quando $c^p$, per qualunque $p<3$. Cio' non esclude che puo' andare a zero molto piu' velocemente, piu' di $c^4$ o $c^4$ eccetera.

i


Ok quindi dire che è R(x)=O(c^3) per R(x) che tende a 0 e per |c|<1 il grafico di R(x) maggiora quello di c^3 .Ma quello di c^3 maggiora quello di c^4, sempre per |c|<1 ,allora come è possibile l'affermazione citata? Grazie

Penso che la risposta sia che R(x) è composto da una f generica meno un polinomio di secondo grado, per cui sappiamo che il nostro polinomio di secondo grado che compone R è O(c^3), ma non possiamo dire di più perché non sappiamo nulla di f.

E' questa la risposta ? ti ringrazio ancora !!

Ps non mandarmi a quel paese !!

[Principe2]

"pasqualinux":
Ps non mandarmi a quel paese !!

Sono tentato di farlo!

Stiamo parlando di una convergenza a $0$ (e non di una divergenza), per cui le funzioni "sotto" vanno piu' velocemente di quelle "sopra": $c^6$ e' un infinitesimo di ordine superiore di $c^5$, che e' di ordine superiore a $c^4$ eccetera. Pensaci bene: non c'e' nessuna contraddizione. Con cio' passo e chiudo (a causa di un weekend in cui saro' molto impegnato).

Ciao!

[Linux1987]

Salve a tutti chiedo scusa se riapro questo post , ma ho una domanda da porre relativamente alla formula di taylor, ovvero che differenza c'è se uso $x_0=0$ rispetto all'usare $x_0$ generico ?

[Noisemaker]

semplicemente la formula diviene
\begin{align}T(x) &= f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+ { {f^{\prime \prime}(x_0)}\over{2!}}(x-x_0)^2 + ... + {{f^{(n)}(x_0)}\over{n!}}(x-x_0)^n\\
&= \sum_{k=0}^n {{f^{(k)}(x_0)}\over k!}(x-x_0)^k \end{align}

anzichè

\begin{align}T(x) &= f(0) + f^{\prime}(0)(x )+ { {f^{\prime \prime}(0)}\over{2!}}(x)^2 + ... + {{f^{(n)}(0)}\over{n!}}(x)^n \\
&= \sum_{k=0}^n {{f^{(k)}(0)}\over k!}(x)^k \end{align}

[Linux1987]

questo lo so, io dico cosa cambia nel senso che uno vale l'altro? in base a cosa si sceglie $x_0$ mi spiego?