Formula di Taylor
Ciao, qualcuno sa farmi vedere i vari passaggi per applicare la formula di Taylor ha una funzione che potrebbe essere senx?
grazie...
ciao
grazie...
ciao
Risposte
"richard84":
Ciao, qualcuno sa farmi vedere i vari passaggi per applicare la formula di Taylor ha una funzione che potrebbe essere senx?
grazie...
ciao
Sia $f$ una funzione definita in $(a,b)$ ed a valori in $RR$ derivabile $n$ volte in $(a,b)$ con $x_0$ interno a suddetto intervallo. Allora
$f(x)=Pf(x)+o((x-x_0)^n)_(x->x_0)$ dove $Pf(x)$ è il polinomio di Taylor di $f(x)$ dato da
$Pf(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)x^2/2+f'''(x_0)x^3/(3!)+...+f^n(x_0)(x-x_0)^n/(n!)$
In altro modo si potrebbe dire che
$f(x)=sum_{k=0}^{n}f^k(x_0)(x-x_0)^k/(k!)+R_n(x)$ con $R_n(x)$ ( resto di Peano) un infinitesimo di ordine superiore a $(x-x_0)^n$ cioè tale che $lim_(x->x_0)(R_n(x))/((x-x_0)^n)=0$
Praticamente con questa formula tu puoi approssimare qualsiasi funzione nell'intorno di $x_0$ col polinomio di Taylor $Pf(x)$
Ovviamente devi fissare $x_0$. Io per farti capire fisserò $x_0=0$ ed in tal caso si parla di sviluppo in serie di Mac-Laurin.
1)$sen(x_0)=sen(0)=0$
2)$f'(x_0)=cos(x_0)=cos(0)=1$
3)$f''(x_0)=-sen(x_0)=-sen(0)=0$
4)$f'''(x_0)=-cos(x_0)=-cos(0)=-1$
e cosi via. In generale si vede tutte le derivate di ordine pari della funzione $sen(x)$ sono funzioni del tipo $+-sen(x)$ che valutate in $x_0=0$ danno contributo nullo; mentre le derivate di ordine dispari sono del tipo $+-cos(x)$ che valutate in $x_0=0$ danno come contributo $+-1$. In conclusione per $x_0=0$ allora il polinomio di Taylor per $sen(x)$ è
$Pf(x)=x-x^3/(3!) +x^5/(5!)-x^7/(7!)....
ok, ma non ho capito bene come applicarla praticamente...ovvero al posto di $x_0$ cosa devo metterci?
grazie nicasamarciano
io non ho capito cosa inserire, per esempio, nel calcolo di un limite, se ho sen(^2)x oppure log(1-3x) o log(^2)x o e(^2x)...
per esempio io non riesco a risolvere qsto limite...
lim per x-->0 di (log(1+3x^2)-3xsenx)/(x^3(e(^2x)-1)
grazie anticipatamente...
per esempio io non riesco a risolvere qsto limite...
lim per x-->0 di (log(1+3x^2)-3xsenx)/(x^3(e(^2x)-1)
grazie anticipatamente...
Comincia col considerare gli asintotici ($x->0$):
$log(1+3x^2)~3x^2$
$3xsinx~3x^2$
$e^(2x)-1~2x$
Sostituendo nel limite, al denominatore ottieni $2x^4$, al numeratore esattamente 0; poiché l'annullamento al numeratore è sospetto, considera un altro termine nello sviluppo di log e sin, sapendo che:
$log(1+t)=sum_(n=1)^(+infty) (-1)^(n+1)/n t^n$
$sinx = sum_(n=0)^(+infty) (-1)^n/((2n+1)!) x^(2n+1)$
$log(1+3x^2)~3x^2$
$3xsinx~3x^2$
$e^(2x)-1~2x$
Sostituendo nel limite, al denominatore ottieni $2x^4$, al numeratore esattamente 0; poiché l'annullamento al numeratore è sospetto, considera un altro termine nello sviluppo di log e sin, sapendo che:
$log(1+t)=sum_(n=1)^(+infty) (-1)^(n+1)/n t^n$
$sinx = sum_(n=0)^(+infty) (-1)^n/((2n+1)!) x^(2n+1)$
ti dichiaro apertamente che non ho capito molto... 
la formula di taylor ce l'ho davanti... ora... come usarla?
perchè log(1+3x^2) viene così e perchè non colì e perchè 3xsenx o e(^2x)-1 vengono così... (spero di aver espresso tutta la mia ignoranza...
)
ho bisogno che me lo sispieghi "col cucchiaino"...
poi mi dite come procedere il limite... ma avrei bisogno prima di un pò di teoria...
la formula di taylor ce l'ho davanti... ora... come usarla?
perchè log(1+3x^2) viene così e perchè non colì e perchè 3xsenx o e(^2x)-1 vengono così... (spero di aver espresso tutta la mia ignoranza...
)ho bisogno che me lo sispieghi "col cucchiaino"...
poi mi dite come procedere il limite... ma avrei bisogno prima di un pò di teoria...
"TatoshiAbeAbe":
poi mi dite come procedere il limite... ma avrei bisogno prima di un pò di teoria...
Dirti come procedere per risolvere un limite con gli sviluppi di Taylor è un conto, chiedermi di farti tutta la teoria di Taylor mi sembra un po' troppo. Questo forum non è un'alternativa allo studio. Chiedevi questo o forse ho capito male io?
no, volevo capire la differeza dello sviluppo di taylor quando mi trovo difronte log(1+3x), log(^2)(1+3x), log(^3)(1+3x), log(^4)(1+3x), ecc...
e poi volevo capire come applicare lo sviluppo di taylor all'esercizio...
e poi volevo capire come applicare lo sviluppo di taylor all'esercizio...
"TatoshiAbeAbe":
no, volevo capire la differeza dello sviluppo di taylor quando mi trovo difronte log(1+3x), log(^2)(1+3x), log(^3)(1+3x), log(^4)(1+3x), ecc...
Non mi è ancora chiaro cos'è che non capisci. Hai capito perchè vale la relazione:
$log(1+t)=sum_(n=1)^(+infty) (-1)^(n+1)/n t^n$ per $-1
"luca.barletta":
[quote="TatoshiAbeAbe"]no, volevo capire la differeza dello sviluppo di taylor quando mi trovo difronte log(1+3x), log(^2)(1+3x), log(^3)(1+3x), log(^4)(1+3x), ecc...
Non mi è ancora chiaro cos'è che non capisci. Hai capito perchè vale la relazione:
$log(1+t)=sum_(n=1)^(+infty) (-1)^(n+1)/n t^n$ per $-1
che relazione è...?
E', appunto, lo sviluppo di Taylor di $log(1+t)$
"luca.barletta":
E', appunto, lo sviluppo di Taylor di $log(1+t)$
ah ok... ma come si ricava...? (non ho capito, come dicevi tu, perchè vale la relazione...)
...e non ho capito, anche
, che se invece ho $log(^2)(1+t)$ cosa debbo fare, cosa cambia rispetto a prima...
Potresti cominciare col valutare la serie di MacLaurin:
$f(x)=sum_(n=0)^(+infty) (f^((n))(0))/(n!) x^n$ con $f(x)in C^infty(I_0)$
Quindi prendi la funzione $log(1+x)$, prova a calcolare la sua derivata prima, seconda, terza, valutate per $x=0$ e cerca di intuire in generale quale sarà l'espressione della derivata n-sima valutata in $x=0$. In questo modo troverai i coefficienti della tua serie di potenze: $a_n=(f^((n))(0))/(n!)$
Prova per ora a fare questi passaggi...
$f(x)=sum_(n=0)^(+infty) (f^((n))(0))/(n!) x^n$ con $f(x)in C^infty(I_0)$
Quindi prendi la funzione $log(1+x)$, prova a calcolare la sua derivata prima, seconda, terza, valutate per $x=0$ e cerca di intuire in generale quale sarà l'espressione della derivata n-sima valutata in $x=0$. In questo modo troverai i coefficienti della tua serie di potenze: $a_n=(f^((n))(0))/(n!)$
Prova per ora a fare questi passaggi...
TatoshiAbeAbe
provo a darti un aiuto, anche se non ho capito se fai sul serio.
Sembra che tu non abbia capito la serie di Taylor.
Non so come ti è stata spiegata, e provo a farlo in maniera facilmente intuibile.
Supponi di vole approssimare una funzione f(x) nell'intorno del punto xo. Un primo tentativo che puoi fare è quello di approssimarla con una retta che passi nel punto (xo, f(xo)), e che abbia in tale punto la derivata prima della funzione (altre non ne può avere dato che è una retta, e tutte le derivate di ordine superiore ad 1 sono nulle).
Scriverai l'equazione della retta come: y=f(xo)+a*(x-xo). La derivata prima sarà: y'=a.
Se vuoi che sia y'=f'(xo) devi solo porre a=f'(xo) e ottieni la retta cercata, d'equazione: y(x)=f(xo)+f'(xo)(x-xo)
Per migliorare la precisione nell'approssimazione puoi immaginare di approssimare la funzione f(x) con un polinomio di secondo grado, passante per (xo, f(xo)) ed avente derivata prima e seconda uguali a quelle della funzione f(x).
In questo caso, allora, porrai y=f(xo)+a*(x-xo)+b(x-xo)^2. Come fatto prima, calcoli derivata prima e seconda e ottieni:
y'=a+2b(x-xo)
y"=2b
La condizione che in xo siano uguali alle derivate corrispondenti della funzione f(x) diventana:
y'=a=f'(xo)
y"=2b=f"(xo)
da cui ricavi:
a=f'(xo)
b=f"(xo)/2
e la parabola approssimante diventa
y=f(xo)+f'(xo)(x-xo)+f"(xo)(x-xo)/2
In maniera analoga puoi immaginare un poninomio di grado n. Ripetendo il procedimento precedente osserverai che in xo la derivata di ordine m
am=f^m(xo)/m! in cui f^m è la derivata m-esima.
Se mandi all'infinito il grado del polinomio ottieni la serie di Taylor, che puoi anche vedere come un polinomio interpolatore, che interpola infiniti punti della funzione, fino a coincidervi.
Faccio una considerazione: mi sembra davvero strano che nel tuo libro ciò non sia stato spiegato molto meglio di me, e con maggior rigore. Ma tu, il libro l'hai studiato?
provo a darti un aiuto, anche se non ho capito se fai sul serio.
Sembra che tu non abbia capito la serie di Taylor.
Non so come ti è stata spiegata, e provo a farlo in maniera facilmente intuibile.
Supponi di vole approssimare una funzione f(x) nell'intorno del punto xo. Un primo tentativo che puoi fare è quello di approssimarla con una retta che passi nel punto (xo, f(xo)), e che abbia in tale punto la derivata prima della funzione (altre non ne può avere dato che è una retta, e tutte le derivate di ordine superiore ad 1 sono nulle).
Scriverai l'equazione della retta come: y=f(xo)+a*(x-xo). La derivata prima sarà: y'=a.
Se vuoi che sia y'=f'(xo) devi solo porre a=f'(xo) e ottieni la retta cercata, d'equazione: y(x)=f(xo)+f'(xo)(x-xo)
Per migliorare la precisione nell'approssimazione puoi immaginare di approssimare la funzione f(x) con un polinomio di secondo grado, passante per (xo, f(xo)) ed avente derivata prima e seconda uguali a quelle della funzione f(x).
In questo caso, allora, porrai y=f(xo)+a*(x-xo)+b(x-xo)^2. Come fatto prima, calcoli derivata prima e seconda e ottieni:
y'=a+2b(x-xo)
y"=2b
La condizione che in xo siano uguali alle derivate corrispondenti della funzione f(x) diventana:
y'=a=f'(xo)
y"=2b=f"(xo)
da cui ricavi:
a=f'(xo)
b=f"(xo)/2
e la parabola approssimante diventa
y=f(xo)+f'(xo)(x-xo)+f"(xo)(x-xo)/2
In maniera analoga puoi immaginare un poninomio di grado n. Ripetendo il procedimento precedente osserverai che in xo la derivata di ordine m
am=f^m(xo)/m! in cui f^m è la derivata m-esima.
Se mandi all'infinito il grado del polinomio ottieni la serie di Taylor, che puoi anche vedere come un polinomio interpolatore, che interpola infiniti punti della funzione, fino a coincidervi.
Faccio una considerazione: mi sembra davvero strano che nel tuo libro ciò non sia stato spiegato molto meglio di me, e con maggior rigore. Ma tu, il libro l'hai studiato?
senti io il libro l'ho studiato e non ho capito nulla perciò sto chiedendo aiuto...
se vuoi sapere che libro è... è il marcellini sbordone, ma è fatto rporpio male e non si capisce nulla... sto studiando da solo e nessuno me l'ha spiegato... cmq ora vedo cosa mi avete detto e cercherò di capire... vi ringrazio della mano che state cercando di darmi...
se vuoi sapere che libro è... è il marcellini sbordone, ma è fatto rporpio male e non si capisce nulla... sto studiando da solo e nessuno me l'ha spiegato... cmq ora vedo cosa mi avete detto e cercherò di capire... vi ringrazio della mano che state cercando di darmi...
vorrei chiedervi se ho capito bene come si fa...
prendiamo il limite che vi ho segnalato l'altra volta...
lim per x-->0 di (log(1+3x^2)-3xsenx)/(x^3((e^2x)-1)
ora mi sono segnato gli sviluppi generalizzati e poi calcolati nello specifico...
log(1+3x^2)=3x^2-((3x^4)/2)+((3x^6)/3)+o(x^6) ho fatto bene o mi devo fermare al secondo grado?
3xsenx=3x^2-((3x^4)/6)+((3x^6)/5!)+o(x6)
x^3((e^2x)-1)=2x^4+((2x^5)/2)+((2x^6)/3)+o(x^6)
ho fatto bene...? ed ora come procedo...?
prendiamo il limite che vi ho segnalato l'altra volta...
lim per x-->0 di (log(1+3x^2)-3xsenx)/(x^3((e^2x)-1)
ora mi sono segnato gli sviluppi generalizzati e poi calcolati nello specifico...
log(1+3x^2)=3x^2-((3x^4)/2)+((3x^6)/3)+o(x^6) ho fatto bene o mi devo fermare al secondo grado?
3xsenx=3x^2-((3x^4)/6)+((3x^6)/5!)+o(x6)
x^3((e^2x)-1)=2x^4+((2x^5)/2)+((2x^6)/3)+o(x^6)
ho fatto bene...? ed ora come procedo...?
No, per $x->0$ si ha $log(1+3x^2)=3x^2-9/2x^4+9x^6+o(x^6)$,
lo sviluppo di $3xsinx$ è corretto, mentre invece $x^3(e^(2x)-1)=2x^4+2x^5+4/3 x^6 + o(x^6)$.
Ora procedi sostituendo questi sviluppi nel limite...
lo sviluppo di $3xsinx$ è corretto, mentre invece $x^3(e^(2x)-1)=2x^4+2x^5+4/3 x^6 + o(x^6)$.
Ora procedi sostituendo questi sviluppi nel limite...
"fireball":
No, per $x->0$ si ha $log(1+3x^2)=3x^2-9/2x^4+9x^6+o(x^6)$,
lo sviluppo di $3xsinx$ è corretto, mentre invece $x^3(e^(2x)-1)=2x^4+2x^5+4/3 x^6 + o(x^6)$.
Ora procedi sostituendo questi sviluppi nel limite...
ok... ma vedo che ho sbagliato a digitare...
"e" è elevato a "2x" e non a "2x-1" eh... (si può capire male da come avevo scritto...
)...un dubbio... perchè viene "4/3x^6" nell'ultimo sviluppo...?
Lo so che $e$ è elevato a $2x$, se tu installassi
il plug-in che permette di visualizzare le formule matematiche
vedresti che ho scritto $e^(2x)$ e non
$e^(2x-1)$ nello svolgimento. E poi, se ci pensi,
in un certo senso è ben poco ragionevole
che ti diano da sviluppare $e^(2x-1)$ per $x->0$,
infatti l'esponente non tende a 0, ma a -1...
Per il tuo dubbio, tieni conto che per calcolare
il polinomio di MacLaurin di grado 6
di $x^3(e^(2x)-1)$ basta tener presente che per $x->0$:
$e^x=1+x+x^2/2+x^3/6 + o(x^3)$
quindi sostituendo $2x$ al posto di $x$ si ha:
$e^(2x)=1+2x+2x^2+8/6 x^3 + o(x^3) = 1 + 2x + 2x^2 + 4/3 x^3 + o(x^3)
Adesso basta moltiplicare questa roba (a cui
va sottratto 1) per $x^3$ e si ottiene appunto lo sviluppo scritto prima.
il plug-in che permette di visualizzare le formule matematiche
vedresti che ho scritto $e^(2x)$ e non
$e^(2x-1)$ nello svolgimento. E poi, se ci pensi,
in un certo senso è ben poco ragionevole
che ti diano da sviluppare $e^(2x-1)$ per $x->0$,
infatti l'esponente non tende a 0, ma a -1...
Per il tuo dubbio, tieni conto che per calcolare
il polinomio di MacLaurin di grado 6
di $x^3(e^(2x)-1)$ basta tener presente che per $x->0$:
$e^x=1+x+x^2/2+x^3/6 + o(x^3)$
quindi sostituendo $2x$ al posto di $x$ si ha:
$e^(2x)=1+2x+2x^2+8/6 x^3 + o(x^3) = 1 + 2x + 2x^2 + 4/3 x^3 + o(x^3)
Adesso basta moltiplicare questa roba (a cui
va sottratto 1) per $x^3$ e si ottiene appunto lo sviluppo scritto prima.
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