Formula di Taylor
Come si costruisce il polinomio di Taylor di grado 2 e punto iniziale di x=2 relativo alla funzione x =sqr(x)
grazie.
grazie.
Risposte
Il polinomio di Taylor(arrestato al secondo ordine ) per una funzione f(x) continua e derivabile in un intorno di $ x_0 $ è dato da questa formula :
$ f(x_0) +f'(x_0)*(x-x_0) +f''(x_0)*(x-x_0)^2/2 $
Nel caso indicato $ x_0 = 2 , f(x) = sqrt(x) $.
Si calcola quindi :
$ f(2) = sqrt(2) $
$ f'(x) = 1/(2*sqrt(x)) ; f'(2) = 1/(2*sqrt(2)) $
$ f''(x) = -1/(4*x^(3/2)) ; f''(2) =-1/(8*sqrt(2)) $
Il polinomio sarà quindi :
$ sqrt(2) +1/(2sqrt(2))(x-2) -1/(16sqrt(2))(x-2)^2 $
che con qualche calcolo diventa :
$ 3sqrt(2)/8 +3sqrt(2)x/8 -sqrt(2)x^2/32 $
Per far vedere come l' approssimazione , nell'intorno di $x=2 $ , dellla funzione $sqrt(x) $ col polinomio di Taylor sia già discreta , ecco il grafico , in rosso del polinomio e in blu della funzione .
Camillo
$ f(x_0) +f'(x_0)*(x-x_0) +f''(x_0)*(x-x_0)^2/2 $
Nel caso indicato $ x_0 = 2 , f(x) = sqrt(x) $.
Si calcola quindi :
$ f(2) = sqrt(2) $
$ f'(x) = 1/(2*sqrt(x)) ; f'(2) = 1/(2*sqrt(2)) $
$ f''(x) = -1/(4*x^(3/2)) ; f''(2) =-1/(8*sqrt(2)) $
Il polinomio sarà quindi :
$ sqrt(2) +1/(2sqrt(2))(x-2) -1/(16sqrt(2))(x-2)^2 $
che con qualche calcolo diventa :
$ 3sqrt(2)/8 +3sqrt(2)x/8 -sqrt(2)x^2/32 $
Per far vedere come l' approssimazione , nell'intorno di $x=2 $ , dellla funzione $sqrt(x) $ col polinomio di Taylor sia già discreta , ecco il grafico , in rosso del polinomio e in blu della funzione .
Camillo
Grazie 1000
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo