Formula di taylor
salve
nel calcolo dei limiti applicando la formula di taylor come stabilisco quante volte derivare la funzione per trovarmi il limite?
sul link in basso c'è un esempio di quello che intendo. perchè nel secondo esempio la formula di taylor per l'esponenziale è usata fino al grado 3 mentre per il coseno fino al grado 4?
inoltre cosa rappresenta la notazione di o-piccoli? a me sembra che poi non servano.mi sbaglio?
https://www.matematicamente.it/analisi/f ... l_limi.htm
grazie
vassily
nel calcolo dei limiti applicando la formula di taylor come stabilisco quante volte derivare la funzione per trovarmi il limite?
sul link in basso c'è un esempio di quello che intendo. perchè nel secondo esempio la formula di taylor per l'esponenziale è usata fino al grado 3 mentre per il coseno fino al grado 4?
inoltre cosa rappresenta la notazione di o-piccoli? a me sembra che poi non servano.mi sbaglio?
https://www.matematicamente.it/analisi/f ... l_limi.htm
grazie
vassily
Risposte
Ciao Vassily!
Per quanto riguarda il grado: devi sviluppare finchè a numeratore e a denominatore ti rimangano dei termini diversi da zero. Non esistono metodi generali, bisogna vedere a occhio quando bisogna fermarsi!
Per quanto riguarda gli o-piccoli: essi SONO la formula di taylor. Non ha alcun senso scrivere: sin(x)=x-x^3/6 ; ha senso invece scrivere:
sin(x)=x-x^3/6+o(x^3) (per x->0). In generale: se f e g sono funzioni infinitesime in un intorno di x0, si dice che f è un o-piccolo di x0 e si scrive:
f=o(g) , se risulta:
lim f(x)/g(x)=0 .
x->x0
La formula di Taylor-Peano afferma: se f è un funzione derivabile n volte in un intorno di un punto x0, allora:
f(x) = sum(f^(k)(x0)(x-x0)^k/k!,k=0...n) + o((x-x0)^n) .
Saluti,
Woody
Per quanto riguarda il grado: devi sviluppare finchè a numeratore e a denominatore ti rimangano dei termini diversi da zero. Non esistono metodi generali, bisogna vedere a occhio quando bisogna fermarsi!
Per quanto riguarda gli o-piccoli: essi SONO la formula di taylor. Non ha alcun senso scrivere: sin(x)=x-x^3/6 ; ha senso invece scrivere:
sin(x)=x-x^3/6+o(x^3) (per x->0). In generale: se f e g sono funzioni infinitesime in un intorno di x0, si dice che f è un o-piccolo di x0 e si scrive:
f=o(g) , se risulta:
lim f(x)/g(x)=0 .
x->x0
La formula di Taylor-Peano afferma: se f è un funzione derivabile n volte in un intorno di un punto x0, allora:
f(x) = sum(f^(k)(x0)(x-x0)^k/k!,k=0...n) + o((x-x0)^n) .
Saluti,
Woody
In generale non c'è un metodo meccanico per stabilirlo; bisogna prendere lo sviluppo fini all'ordine "che basta". Per stabilirlo cj vuole un po' d'occhio o in alternativa si va ad intuito e per tentativi: se per es fermandoti al terzordine ottieni ancora una forma indeterminata allora prova fermandoti all'ordine successivo.
Gli sviluppi di Taylor si usano per approssimare le funzioni irrazionali con delle funzioni polinomiali: più è alto l'ordine a cui ci si ferma più l'approssimazione e corretta .
exp(x) non è "uguale" (nel senso che non è la stessa funzione) a 1+x, tuttavia facendo lo sviluppo arrestato al primordine dell'exp, l'approssimazione è così bassa che non si riesce a coglierne la differenza; in questo modo nel risolvere alcunoi limiti si continua ad ottenere una forma indeterminata. E' però sufficente migliorere l'approssimazione fermandosi anche solo al second ordine per vedere come effettivamente non sono la stessa funzione (a parità di x assumono volori diversi).
Gli o-picoli sono i "resti" della funzione espressa sotto forma del polinomio di Taylor: per avere la stessa funzione bisognerebbe continuare lo sviluppo fino all'infinito; l'o-piccolo rappresenta la parte di funzione rascurata a causa del fatto che ad un certo punto durante lo sviluppo ci si è dovuti fermare.
Se praticamente nel calcolo dei limiti sempra che non servino e perchè effettivamente essi sono (per definizione) degli infinitesimi di ordine superiore, e come tali sono trascurabili.
Platone
Gli sviluppi di Taylor si usano per approssimare le funzioni irrazionali con delle funzioni polinomiali: più è alto l'ordine a cui ci si ferma più l'approssimazione e corretta .
exp(x) non è "uguale" (nel senso che non è la stessa funzione) a 1+x, tuttavia facendo lo sviluppo arrestato al primordine dell'exp, l'approssimazione è così bassa che non si riesce a coglierne la differenza; in questo modo nel risolvere alcunoi limiti si continua ad ottenere una forma indeterminata. E' però sufficente migliorere l'approssimazione fermandosi anche solo al second ordine per vedere come effettivamente non sono la stessa funzione (a parità di x assumono volori diversi).
Gli o-picoli sono i "resti" della funzione espressa sotto forma del polinomio di Taylor: per avere la stessa funzione bisognerebbe continuare lo sviluppo fino all'infinito; l'o-piccolo rappresenta la parte di funzione rascurata a causa del fatto che ad un certo punto durante lo sviluppo ci si è dovuti fermare.
Se praticamente nel calcolo dei limiti sempra che non servino e perchè effettivamente essi sono (per definizione) degli infinitesimi di ordine superiore, e come tali sono trascurabili.
Platone
Io ho una domanda:
Per Risolvere un limite che ha una forma di indeterminazione del tipo inf/inf non è meglio ricorrere a de l'hopital piuttosto che "impegolarsi" su uno sviluppo di taylor?
chiedo questo dato che nell'esame di An A ho risolto un limite usando lo sviluppo di taylor ma poi mi sono perso e non sono riuscito a concludere le semplificazioni.
Io infatto nel 90% dei casi uso de l'Hopital che è più "pratico & veloce"...certo con taylor uso un metodo più "accademico",però nel mio caso personale non facevo altro che confordermi...
Bisogna saperlo utilizzare veramente bene...(ma va?)
Ciao
Marvin
Per Risolvere un limite che ha una forma di indeterminazione del tipo inf/inf non è meglio ricorrere a de l'hopital piuttosto che "impegolarsi" su uno sviluppo di taylor?
chiedo questo dato che nell'esame di An A ho risolto un limite usando lo sviluppo di taylor ma poi mi sono perso e non sono riuscito a concludere le semplificazioni.
Io infatto nel 90% dei casi uso de l'Hopital che è più "pratico & veloce"...certo con taylor uso un metodo più "accademico",però nel mio caso personale non facevo altro che confordermi...
Bisogna saperlo utilizzare veramente bene...(ma va?)
Ciao
Marvin
In questo momento non mi vengono in mente limoti della formana indeterminata inf/inf che si possano risolvere con gli sviluppi di Taylor: per evere la forma indeterm inf/inf si dovrebbe avere una frazione con denominatore e numeratore che va da infinito, e di silito se ci vanno quando x tende a c (con c numero reale) la vrazione si può modificare con semplici operazioni algebriche in una equivalente che di solito e risolvivire senza particolari tecniche. Le forme indeterminate inf/inf si hanno per lo più quando x tende a inf: in questo caso se l'argomento della funzione irrazionale tende ad infinito come x, gli sviluppi di Taylor non si possono fare e quindi si può usare Hopital (o qualche altro metodo),
Ad ogni modo nel caso generale rimane il fatto che gli sviluppi di Taylor si possono sempre usare (tranne nel caso detto sopra) e sinceramente una volta che approssimi le funzioni irrazionali con dei polinomi non dovrebbero esserci problemi a stabilire il limite (calcolare i limite delle funzioni rarionali è di soito semplicissimo); inoltre Hopital alle volte viene usato in maniera sbagliata perche lo si applica senza verificare le ipotesi di applicabilità, e altre volte non porta a nessun risultao perchè le derivate di alcune funzioni ci infinito danno sempre forme indeterminate.
Platone
Ad ogni modo nel caso generale rimane il fatto che gli sviluppi di Taylor si possono sempre usare (tranne nel caso detto sopra) e sinceramente una volta che approssimi le funzioni irrazionali con dei polinomi non dovrebbero esserci problemi a stabilire il limite (calcolare i limite delle funzioni rarionali è di soito semplicissimo); inoltre Hopital alle volte viene usato in maniera sbagliata perche lo si applica senza verificare le ipotesi di applicabilità, e altre volte non porta a nessun risultao perchè le derivate di alcune funzioni ci infinito danno sempre forme indeterminate.
Platone
Oppure alcune finzioni che tendono all'infinito non sono derivabili (per averne una basta, per esempio, sommare ad una "buona" che tende all'infinito quando x tende all'infinito, l'espressione "sen(1/x²)")
sto cercando di capire il funzionamente della formula di taylor provando su (x-sinx)/x^3 primo esempio del link che ho postato nel mio primo messaggio...
applicando la formula a sinx mi viene (sinx+xcosx-(x^2sinx/2!)-(x^3cosx/3!) +o(x^4))
sviluppando appropriatamente la funzione mi rimane 1/3! - o(x^4)/x^3.
la mia prima perplessità era riguardo al segno dell'o-piccolo che nello sviluppo dell'esempio diventa +; se c'è il - davanti allo sviluppo della formula in senx,il segno non dovrebbere essere meno?
la seconda perplessità era riguardante o(x^4)/x^3 che visto il risultato finale del limite sembra essere 0.sapete dirmi il perchè?
scusate l'ignoranza e grazie
vassily
applicando la formula a sinx mi viene (sinx+xcosx-(x^2sinx/2!)-(x^3cosx/3!) +o(x^4))
sviluppando appropriatamente la funzione mi rimane 1/3! - o(x^4)/x^3.
la mia prima perplessità era riguardo al segno dell'o-piccolo che nello sviluppo dell'esempio diventa +; se c'è il - davanti allo sviluppo della formula in senx,il segno non dovrebbere essere meno?
la seconda perplessità era riguardante o(x^4)/x^3 che visto il risultato finale del limite sembra essere 0.sapete dirmi il perchè?
scusate l'ignoranza e grazie
vassily
Non mi è molto chiaro che cosa hai fatto , comunque immaginando che sia richiesto il limite per x che tende a 0 , puoi sviluppare sin x in serie di Taylor fino al terzo ordine ottenendo :
sin x = x-(x^3/6)+o(x^4)e quindi il numeratore diventa :
x-x+(x^3/6)+o(x^4)=(x^3/6)+o(x^4)e quindi il tutto diventa :
[(x^3/6)+o(x^4)]/x^3 e quando x tende a 0 si ottiene : 1/6.
quando sono 0( piccoli) poco importa il segno nelle somme di
o(piccoli), tanto vanno a zero; infatti il limite per x che tende a 0 di o(x^4)/x^3 è 0 , per definizione di o(piccolo); pensa se o(x^4) fosse ad es. : 3x^4+2x^5, chiaramente il lim. per x che tende a 0 di :
[3x^4+2x^5]/x^3 = 3x+2x^2 che per x che tende a 0 vale 0.
Camillo
N.B. ti suggerisco comunque di guardare sul testo la teoria relativa agli o piccoli.
sin x = x-(x^3/6)+o(x^4)e quindi il numeratore diventa :
x-x+(x^3/6)+o(x^4)=(x^3/6)+o(x^4)e quindi il tutto diventa :
[(x^3/6)+o(x^4)]/x^3 e quando x tende a 0 si ottiene : 1/6.
quando sono 0( piccoli) poco importa il segno nelle somme di
o(piccoli), tanto vanno a zero; infatti il limite per x che tende a 0 di o(x^4)/x^3 è 0 , per definizione di o(piccolo); pensa se o(x^4) fosse ad es. : 3x^4+2x^5, chiaramente il lim. per x che tende a 0 di :
[3x^4+2x^5]/x^3 = 3x+2x^2 che per x che tende a 0 vale 0.
Camillo
N.B. ti suggerisco comunque di guardare sul testo la teoria relativa agli o piccoli.
Platone già che si siamo allora non è che gentilmente mi daresti una rinfrescata su le condizioni di de L'Hopital?
se non sbaglio dovrebbero essere 0/0 e il lim deve avere una forma effettiva di indeterminazione..o qlc di simile.
se non sbaglio dovrebbero essere 0/0 e il lim deve avere una forma effettiva di indeterminazione..o qlc di simile.
Date due funzioni continue e derivafili in un intorno I di C (eventualmente uugale ad infinito); se il limite del rapporto per x che tende a c si presenta nella forma indeterm 0/0 o inf/inf, e g'(x) diversa da 0 in ogni punto di I (escluso al max c), allora se esiste il limite per x che tende a c del rapporto delle derivate, allora esiste anche il limite del rapporto dlle due funzioni e i due limiti coincidono.
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