Formula di Taylor.

[galles90]

Buonasera,
Sto studiando la teoria riguardando la formula di Taylor.
Sul libro di teoria in un capitolo introduce la formula di Taylor e le sue prime proprietà, poi in un altro capitolo spiega la formula di Taylor con il resto di Peano, cioè :


1. (FORMULA DI TAYLOR)
Sia $f(x)$ una funzione derivabile n volte in $x_0$. Risulta
$a$

$f(x) = sum_{k=0} ^n (f^(k)(x_0))/(k!)(x-x_0)^k+R_n(x_0)$

$b$

$lim_(x to x_0) (R_n(x))/(x-x_0)^n=0$

2. (FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO DI PEANO)
Se $f$ è derivabile n volte in $x_0$, il resto $R_n(x)$ è un infinitesimo in $x_0$ di ordine superiore a $(x-x_0)^n$
ossia

$lim_(x to x_0) (R_n(x))/(x-x_0)^n=0$

Comincia le rispettive dimostrazione dicendo:

1.Si suppone che la derivata $f^n(x)$ sia continua in $x_0$
2.Si suppone che la derivata n-esima non sia continua in $x_0$
Il mio dubbio è su queste due affermazioni, cioè perchè queste differenze se le dimostrazioni sono quasi simili.


Grazie.

[otta96]

Quei due enunciati sono lo stesso, entrambi col resto di Peano, e che mi ricordi non c'era da distinguere i due casi come fa il tuo libro, quella che avevo fatto io era una dimostrazione che non distingueva i due casi.

[galles90]

Ciao otto96,
suppongo,ma di questo non sono molto sicuro, lo faccia solo ai fini della dimostrazione.
Io faccio questo ragionamento : nella stessa il mio libro applica ad entrambi il teorema di L'Hopital, il quale chiede (in sintesi) che se due funzioni $f,g$ sono derivabili allora il limite del loro rapporto deve coincidere con il limite del rapporto della derivata prima purche esista l'ultimo limite.

Se suppongo che ho una funzione $f$ derivabile in un certo intervallo $I=[a,b]$ questo non mi assiccura che $f'$ sia continua, la quale può ammettere al massimo una discontinuità di seconda specie.
Allora se

$ lim_{x to x_0}f'$

esiste ed finito significa che la derivata è continua e quindi posso applicare il teorema di L'Hopital.

Ma questa è solo una mia supposizione e sulla quale non sono molto convinto.

P.s scusa se rispondo ora !

[otta96]

Allora, di solito il teorema di Taylor (col resto in forma di Peano, cioè quello che interessa a te), si chiede che $f$ sia derivabile $n$ volte in $x_0$ (come hai fatto).
A questo punto per dimostrare la tesi scrivi il resto come $f-P_n$ dove $P_n$ è il polinomio di Taylor di ordine $n$ e a quello applichi $n-1$ volte de l'Hopital, dimostrando che puoi sempre farlo per induzione, fino a ottenere che il tuo limite di partenza è $\lim_{x->x_0} (f^(n-1)(x)-f^(n-1)(x_0))/((x-x_0)n!)-f^n(x_0)/(n!)=0$, quindi come puoi notare non c'è bisogno di distinguere nessun caso.

P.S. Noto soltanto ora che la distinzione che fa il tuo libro non ha tanto senso perché non è nemmeno detto che la derivata $n$-esima sia definita in altri punti oltre che in $x_0$, quindi non ha senso parlare di continuità (in realtà lo avrebbe ma diciamo che nel contesto dell'analisi 1 è come se non lo avesse).