Formula di Taylo e resto di Peano
Salve a tutti.
Mi sono imbattuto nello studio di questo bel teoremino che leggendo dalle slide della mia carra professoressa dell'università dice :
Teorema (Formula di Taylor con il resto di Peano)
Siano A un intervallo, f di classe C^n in A, x0 appartenente ad A.
Allora: per ogni x appartenente ad A si ha:
f(x) = Pn(x) + o((x - x0)^n)
dove Pn(x) è il polinomio di Taylor di grado n
fin qui tutto chiaro ma poi vado avanti con le slide e mi trovo alcuni esempi:
Formula di Taylor con resto di Peano per alcune funzioni elementari:
$\e^x = sum_{k=0}^N (x^k)/(k!) + o(x^n)$ qui ancora tutto ok
poi il dubbio :
$\sin(x) = sum_{k=0}^N (-1)^k (x^2k+1)/((2k+1)!) + o(x^(2n+2))$
qui sorge la mia domanda:
perchè il resto di Peano è $\o(x^(2n+2))$ e non $\o(x^n)$ come da definizione?
Mi sono imbattuto nello studio di questo bel teoremino che leggendo dalle slide della mia carra professoressa dell'università dice :
Teorema (Formula di Taylor con il resto di Peano)
Siano A un intervallo, f di classe C^n in A, x0 appartenente ad A.
Allora: per ogni x appartenente ad A si ha:
f(x) = Pn(x) + o((x - x0)^n)
dove Pn(x) è il polinomio di Taylor di grado n
fin qui tutto chiaro ma poi vado avanti con le slide e mi trovo alcuni esempi:
Formula di Taylor con resto di Peano per alcune funzioni elementari:
$\e^x = sum_{k=0}^N (x^k)/(k!) + o(x^n)$ qui ancora tutto ok
poi il dubbio :
$\sin(x) = sum_{k=0}^N (-1)^k (x^2k+1)/((2k+1)!) + o(x^(2n+2))$
qui sorge la mia domanda:
perchè il resto di Peano è $\o(x^(2n+2))$ e non $\o(x^n)$ come da definizione?
Risposte
[EDIT]L'avevo spiegato in maniera un po' barbarica... Ci riprovo.
Allora, la formula di Taylor.
>>La formula di Taylor consente di approssimare una funzione di classe $C^n$ in un intervallo con un polinomio di grado $n$.<<
E fino a qui, niente da obiettare.
Comunque essa è pur sempre un'approssimazione e, come tale, avrà un certo errore (o resto), nel tuo caso sotto forma di resto di Peano.
Cosa sta a significare l'o-piccolo?
Nell'o-piccolo in realtà è contemplata tutta una serie di funzioni: esso è una classe di funzioni tutte con la stessa proprietà, cioè di essere un infinitesimo di ordine superiore alla funzione indicata dall'o-piccolo.
Facciamo un esempio
Che vuol dire, per una funzione $f(x)$ essere un $o(x^2)$ in un intorno dello zero?
Vuol dire che essa è un infinitesimo di ordine superiore a $x^2$ in un intorno dello zero cioè - preso pari pari dalla definizione tecnica di o-piccolo - $lim_(x->0) f(x)/x^2 =0$
- $x$ non è un $o(x^2)$ poiché nello zero come limite ho infinito
- $x^2$ nemmeno (il limite è 1)
- $x^3$ lo è, e, con esso, tutti gli altri $x^n$ con $n>2$ perché $lim_(x->0) x^n/x^2=lim_(x->0) x^(n-2)$ che vale zero solo se $n>2$.
Poi, in generale, se a $x^n$ abbino un coefficiente, il discorso non cambia e il limite è zero solo se $n>2$.
Passiamo alla formula di Taylor: prima l'esponenziale. Se ti fa piacere, togliamo quella sommatoria che in genere ad analisi I è di difficile digestione (per chi viene dalle superiori intendo).
$e^x=1+x+x^2/2+...+x^n/(n!)+o(x^n)$
sta a significare che $e^x$ è uguale a quella trafila di termini più un resto che - pur non sapendo di preciso com'è - so che è di ordine superiore a $x^n$, cioè è composto da termini che possono avere $x^m$ ma $m>n$.
$sin(x)=x-x^3/(3!)+...+(-1)^n \frac{x^(2n+1)}{(2n+1)!}+ RESTO$
Quel resto (l'ho scritto obbrobriosamente in maiuscolo proprio per risaltarlo) contiene infinitesimi di ordine superiore a quello più grande che compare nella formula. Un paio di appunti prima di concludere
- ogni termine della formula è di 2 gradi maggiore rispetto al precedente (da $x$ si passa a $x^3$ poi a $x^5$,...)
- il termine più grande è $x^(2n+1)$
Quindi il resto è $o(x^(2n+1))$ perché compaiono termini superiori all'$x^(2n+1)$ contemplato sulla formula. Però può essere scritto anche come $o(x^(2n+2))$ perché se estendessi ulteriormente la formula (oltre $n$, cioè) il termine successivo sarebbe in $x^(2n+3)$ (sarebbe $(-1)^(n+1) \frac{x^(2n+3)}{(2n+3)!}$.
Il "trucco", se così si può chiamare, è afferrare il concetto alla base dell'o-piccolo. Esso non è una funzione, ma una classe di funzioni (quindi una sorta di insieme) tutte accomunate dal fatto di avere infinitesimi di ordine maggiore a quello contemplato dall'o-piccolo stesso.
Allora, la formula di Taylor.
>>La formula di Taylor consente di approssimare una funzione di classe $C^n$ in un intervallo con un polinomio di grado $n$.<<
E fino a qui, niente da obiettare.
Comunque essa è pur sempre un'approssimazione e, come tale, avrà un certo errore (o resto), nel tuo caso sotto forma di resto di Peano.
Cosa sta a significare l'o-piccolo?
Nell'o-piccolo in realtà è contemplata tutta una serie di funzioni: esso è una classe di funzioni tutte con la stessa proprietà, cioè di essere un infinitesimo di ordine superiore alla funzione indicata dall'o-piccolo.
Facciamo un esempio
Che vuol dire, per una funzione $f(x)$ essere un $o(x^2)$ in un intorno dello zero?
Vuol dire che essa è un infinitesimo di ordine superiore a $x^2$ in un intorno dello zero cioè - preso pari pari dalla definizione tecnica di o-piccolo - $lim_(x->0) f(x)/x^2 =0$
- $x$ non è un $o(x^2)$ poiché nello zero come limite ho infinito
- $x^2$ nemmeno (il limite è 1)
- $x^3$ lo è, e, con esso, tutti gli altri $x^n$ con $n>2$ perché $lim_(x->0) x^n/x^2=lim_(x->0) x^(n-2)$ che vale zero solo se $n>2$.
Poi, in generale, se a $x^n$ abbino un coefficiente, il discorso non cambia e il limite è zero solo se $n>2$.
Passiamo alla formula di Taylor: prima l'esponenziale. Se ti fa piacere, togliamo quella sommatoria che in genere ad analisi I è di difficile digestione (per chi viene dalle superiori intendo).
$e^x=1+x+x^2/2+...+x^n/(n!)+o(x^n)$
sta a significare che $e^x$ è uguale a quella trafila di termini più un resto che - pur non sapendo di preciso com'è - so che è di ordine superiore a $x^n$, cioè è composto da termini che possono avere $x^m$ ma $m>n$.
$sin(x)=x-x^3/(3!)+...+(-1)^n \frac{x^(2n+1)}{(2n+1)!}+ RESTO$
Quel resto (l'ho scritto obbrobriosamente in maiuscolo proprio per risaltarlo) contiene infinitesimi di ordine superiore a quello più grande che compare nella formula. Un paio di appunti prima di concludere
- ogni termine della formula è di 2 gradi maggiore rispetto al precedente (da $x$ si passa a $x^3$ poi a $x^5$,...)
- il termine più grande è $x^(2n+1)$
Quindi il resto è $o(x^(2n+1))$ perché compaiono termini superiori all'$x^(2n+1)$ contemplato sulla formula. Però può essere scritto anche come $o(x^(2n+2))$ perché se estendessi ulteriormente la formula (oltre $n$, cioè) il termine successivo sarebbe in $x^(2n+3)$ (sarebbe $(-1)^(n+1) \frac{x^(2n+3)}{(2n+3)!}$.
Il "trucco", se così si può chiamare, è afferrare il concetto alla base dell'o-piccolo. Esso non è una funzione, ma una classe di funzioni (quindi una sorta di insieme) tutte accomunate dal fatto di avere infinitesimi di ordine maggiore a quello contemplato dall'o-piccolo stesso.
sei stato chiarissimo sul tutto se potessi ti darei un bacio 
lol grazie ancora e alla prossima 
lol grazie ancora e alla prossima
però rileggendo mi è sorto un altro dubbio... seguendo la tua spiegazione, allora non è più corretto dire che il resto di Peano dell esponenziale è $\o(x^(n+1))$ ??
"tuturo89":
però rileggendo mi è sorto un altro dubbio... seguendo la tua spiegazione, allora non è più corretto dire che il resto di Peano dell esponenziale è $\o(x^(n+1))$ ??
$o(x^(2n+1))$ non $o(x^(n+1))$
(penso sia una svista)Alla fine è corretto uguale. Se vai avanti con la formula sai che il termine dopo è $x^(2n+3)$ con un certo coefficiente il ché lo rende (così come i successivi) un $o(x^(2n+1))$ ma anche un $o(x^(2n+2))$.
Se non erro è che in genere, nel resto di Peano, si cerca di dare indicazione sul più alto $x^k$ tale per cui vale la relazione di o-piccolo. Cioè, io potrei tranquillamente dire
$sin(x)=\sum_(k=0)^n ... + o(x)$ alla fine nessuno mi dice nulla perché è vero! Qualsiasi $x^n$ ($n>1$) è un $o(x)$.
Anche se è corretto scrivere $o(x^(2n+1))$ se non è per un fatto estetico (il dubbio ora mi viene
) si preferisce $o(x^(2n+2))$ perché esclude tutti i possibili coefficienti del tipo $qualcosa \cdot x^(2n+2)$ che, infatti, non ci sono nel resto (basta, come ho detto, andare avanti nella formula oppure aspettare che fai come argomento le "serie di Taylor" ).
mi stavo riferendo all'esponenziale dato che l'ultimo esponente è x^n allora il resto di Peano dovrebbe esse x^n+1 ??
dato che l'ultimo esponente è x^n allora il resto di Peano dovrebbe esse x^n+1 ??
"tuturo89":
mi stavo riferendo all'esponenziale
No, perché il termine successivo (se vai avanti con la formula) è $\frac{x^(n+1)}{(n+1)!}$ che è, al massimo, $o(x^n)$ ma non $o(x^(n+1))$
tutto chiaro grazie mille
grazie mille
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