Formula di somma di Eulero e zeta
Buongiorno a tutti, ho grattacapi con il seguente quesito.
Inizio dal principio. La formula di somma di Eulero dice che se $f$ è di classe $C^1$ in $[a,b]$, dove $0-b)-f(a)([a]-a)$
e fino a qui tutto ok. Tanto per chiarire, $[x]$ è la parte intera di $x$.
La applico a questa funzione (famosa): $\zeta (s)=\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^s}$, considerando $f(x)=\frac{1}{x^s}$ e che essa è definita per $Re(s)>1$.
$\sum_(n\le x) \frac{1}{n^s}=\int_1^x \frac{1}{t^s}dt -s\int_1^x \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt+1-\frac{x-[x]}{x^s} =$
$\frac{x^(1-s)-1}{1-s}-s\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt+s\int_x^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt+1-\frac{x-[x]}{x^s}$.
In questa formula, l'integrale l'ho scritto in un altro modo ricordando una proprietà degli integrali di cui ora non mi viene il nome (sono passati 6 anni da quando ho fatto analisi I!), però la scrivo
$\int_a^c (...) =\int_a^b (...) - \int_c^b (...)$.
Ora faccio tendere $x->+\infty$ notando che $-\frac{x-[x]}{x^s}=O(\frac{1}{x^s})$, che $x^(1-s) ->0$ e che $\int_x^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt= O(\frac{1}{x^s})$. Ottengo
$-\frac{1}{1-s}-s\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt+1+O(\frac{1}{x^s})$,
che è un risultato concorde con quello indicato anche nel libro di Apostol (Introduction to Analytic Number Theory se non erro).
Qual è la domanda? La domanda è questa, anzi ne sono 2.
Prima questione.
Apostol dice "questa formula vale per $Re(s)>0$ con $s\ne 1$". Com'è possibile?
Non è proprio il fatto che $Re(s)>1$ che ci consente di togliere $x^(1-s)$ quando $x->\infty$?
Inoltre per estendere la $\zeta$ da $Re(s)>1$ a $Re(s)>0, s\ne 1$ non serviva l'equazione funzionale?
Seconda questione.
Su altri testi e dispense trovo questa definizione.
$\zeta(s)=1+\frac{1}{s-1}-s\int_1^\infty \frac{[t]}{t^(s+1)}dt$
che non concorda molto con quella che ho trovato io, calcolandola. Da dove viene fuori?
Ringrazio chiunque mi dia una mano.
Inizio dal principio. La formula di somma di Eulero dice che se $f$ è di classe $C^1$ in $[a,b]$, dove $0
e fino a qui tutto ok. Tanto per chiarire, $[x]$ è la parte intera di $x$.
La applico a questa funzione (famosa): $\zeta (s)=\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^s}$, considerando $f(x)=\frac{1}{x^s}$ e che essa è definita per $Re(s)>1$.
$\sum_(n\le x) \frac{1}{n^s}=\int_1^x \frac{1}{t^s}dt -s\int_1^x \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt+1-\frac{x-[x]}{x^s} =$
$\frac{x^(1-s)-1}{1-s}-s\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt+s\int_x^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt+1-\frac{x-[x]}{x^s}$.
In questa formula, l'integrale l'ho scritto in un altro modo ricordando una proprietà degli integrali di cui ora non mi viene il nome (sono passati 6 anni da quando ho fatto analisi I!), però la scrivo
$\int_a^c (...) =\int_a^b (...) - \int_c^b (...)$.
Ora faccio tendere $x->+\infty$ notando che $-\frac{x-[x]}{x^s}=O(\frac{1}{x^s})$, che $x^(1-s) ->0$ e che $\int_x^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt= O(\frac{1}{x^s})$. Ottengo
$-\frac{1}{1-s}-s\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt+1+O(\frac{1}{x^s})$,
che è un risultato concorde con quello indicato anche nel libro di Apostol (Introduction to Analytic Number Theory se non erro).
Qual è la domanda? La domanda è questa, anzi ne sono 2.
Prima questione.
Apostol dice "questa formula vale per $Re(s)>0$ con $s\ne 1$". Com'è possibile?
Non è proprio il fatto che $Re(s)>1$ che ci consente di togliere $x^(1-s)$ quando $x->\infty$?
Inoltre per estendere la $\zeta$ da $Re(s)>1$ a $Re(s)>0, s\ne 1$ non serviva l'equazione funzionale?
Seconda questione.
Su altri testi e dispense trovo questa definizione.
$\zeta(s)=1+\frac{1}{s-1}-s\int_1^\infty \frac{[t]}{t^(s+1)}dt$
che non concorda molto con quella che ho trovato io, calcolandola. Da dove viene fuori?
Ringrazio chiunque mi dia una mano.
Risposte
"Zero87":
Ora faccio tendere $x->+\infty$ notando che $-\frac{x-[x]}{x^s}=O(\frac{1}{x^s})$, che $x^(1-s) ->0$ e che $\int_x^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt= O(\frac{1}{x^s})$. Ottengo
$-\frac{1}{1-s}-s\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt+1+O(\frac{1}{x^s})$,
che è un risultato concorde con quello indicato anche nel libro di Apostol (Introduction to Analytic Number Theory se non erro).
[...]
Seconda questione.
Su altri testi e dispense trovo questa definizione.
$\zeta(s)=1+\frac{1}{s-1}-s\int_1^\infty \frac{[t]}{t^(s+1)}dt$
che non concorda molto con quella che ho trovato io, calcolandola. Da dove viene fuori?
Al secondo quesito mi sono risposto da solo.
Dalla formula che avevo trovato, cioè
$\zeta(s)=-\frac{1}{1-s}-s\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt+1+O(\frac{1}{x^s})$
mi sono dimenticato che $O(\frac{1}{x^s})$ lo posso tranquillamente togliere perché infinitesimo (per arrivare a quella formula ho fatto il limite per $x->+\infty$) per lo stesso ragionamento fatto prima. Cambiando, inoltre, segno al primo termine - cioè $-\frac{1}{1-s}=\frac{1}{s-1}$ - ottengo la formula
$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}-s\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt+1$.
In seguito ho scomposto l'integrale con la proprietà di linearità
$\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}dt=\int_1^\infty \frac{t}{t^(s+1)}dt-\int_1^\infty \frac{[t]}{t^(s+1)}dt$
nel quale il primo è $O(1/x^(s-1))$ che tende a zero (per $x->+\infty$).
Ottengo, dunque, la formula
$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}-s\int_1^\infty \frac{[t]}{t^(s+1)}dt+1$ e ok.
Resta ancora il dubbio sul perché Apostol dice "valida per $Re(s)>0, s\ne 1$" dato che tutte quelle questioni sugli infinitesimi valgono proprio supponendo $Re(s)>1$.
Errore di stampa, magari.
O magari devi ricordare com'è definita la \(\zeta\) per \(\Re e(s)\in ]0,1[\) (mi pare ci sia una definizione fatta a posta, tirata fuori col prolungamento analitico o qualcosa di simile....)
O magari devi ricordare com'è definita la \(\zeta\) per \(\Re e(s)\in ]0,1[\) (mi pare ci sia una definizione fatta a posta, tirata fuori col prolungamento analitico o qualcosa di simile....)
Innanzitutto mi scuso per aver postato nella sezione sbagliata. Ero indeciso fino all'ultimo tra quella di teoria dei numeri e quella di analisi, ma ho scelto la prima perché stavo studiando le funzioni aritmetiche e le serie di Dirichlet (pur sempre teoria dei numeri anche se "analitica"...).
Comunque ringrazio gugo82 per avermi risposto.
Volevo, tuttavia, correggermi e puntualizzare perché oggi, a bocce ferme, ho riletto tutto il thread e ho capito che è meglio fare un po' d'ordine. Un "piccolo riassunto delle puntate precedenti".
La formula che avevo trovato a mano è
$\zeta(s)=1+\frac{1}{s-1}-s\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}+1$
valida per $Re(s)>1$ proprio perché in questo modo si possono togliere un sacco di infinitesimi.
Sui testi - a parte l'Apostol che dà ragione a me - si trova la formula seguente
$\zeta(s)=1+\frac{1}{s-1}-s\int_1^\infty \frac{{t}}{t^(s+1)}$
era un piccolo errore di svista, avevo scritto $[t]$ (parte intera di $t$) al posto di ${t}$ (parte frazionaria di $t$).
Le formule sono "identiche" perché la parte frazionaria di $t$ è proprio $t-[t]$. Quindi il mio secondo quesito è ok.
Mi è rimasto solo il primo a cui gugo82 mi ha dato una risposta (non so se un suggerimento o una risposta tra le righe, non sono bravo ad interpretare).
L'Apostol, "introduction to analytic number theory" a pagina 55 fa un calcolo simile al mio (io l'ho fatto più lungo e non l'ho postato per evidenti problemi di spazio
) e arriva alla mia stessa conclusione. Solo che all'inizio dice testualmente
L'Apostol dice "we use the same type of argument" poiché aveva applicato la formula di Eulero alla serie armonica semplice.
Mi chiedevo, quindi, perché $s>0$ e non $s>1$ dato che so che l'estensione analitica a $Re(s)>0$ è una cosa complicata (che non scrivo nei dettagli) e che arriva allo stesso risultato ma non con la formula di Eulero.
Quindi mi chiedo se la formula di Eulero vale anche per $s>0$. E' che in tutti i testi ho trovato 2 procedimenti diversi (uno per $Re(s)>1$ e uno per "continuarla analiticamente a $Re(s)>0$") che portano allo stesso risultato.
Comunque ringrazio gugo82 per avermi risposto.
Volevo, tuttavia, correggermi e puntualizzare perché oggi, a bocce ferme, ho riletto tutto il thread e ho capito che è meglio fare un po' d'ordine. Un "piccolo riassunto delle puntate precedenti".
La formula che avevo trovato a mano è
$\zeta(s)=1+\frac{1}{s-1}-s\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^(s+1)}+1$
valida per $Re(s)>1$ proprio perché in questo modo si possono togliere un sacco di infinitesimi.
Sui testi - a parte l'Apostol che dà ragione a me - si trova la formula seguente
$\zeta(s)=1+\frac{1}{s-1}-s\int_1^\infty \frac{{t}}{t^(s+1)}$
era un piccolo errore di svista, avevo scritto $[t]$ (parte intera di $t$) al posto di ${t}$ (parte frazionaria di $t$).
Le formule sono "identiche" perché la parte frazionaria di $t$ è proprio $t-[t]$. Quindi il mio secondo quesito è ok.
Mi è rimasto solo il primo a cui gugo82 mi ha dato una risposta (non so se un suggerimento o una risposta tra le righe, non sono bravo ad interpretare).
L'Apostol, "introduction to analytic number theory" a pagina 55 fa un calcolo simile al mio (io l'ho fatto più lungo e non l'ho postato per evidenti problemi di spazio
) e arriva alla mia stessa conclusione. Solo che all'inizio dice testualmentewe use the same type of argument with $f(x)=x^(-s)$, where $s>0,s\ne 1$.
L'Apostol dice "we use the same type of argument" poiché aveva applicato la formula di Eulero alla serie armonica semplice.
Mi chiedevo, quindi, perché $s>0$ e non $s>1$ dato che so che l'estensione analitica a $Re(s)>0$ è una cosa complicata (che non scrivo nei dettagli) e che arriva allo stesso risultato ma non con la formula di Eulero.
Quindi mi chiedo se la formula di Eulero vale anche per $s>0$. E' che in tutti i testi ho trovato 2 procedimenti diversi (uno per $Re(s)>1$ e uno per "continuarla analiticamente a $Re(s)>0$") che portano allo stesso risultato.
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