Formula di Hermite
Ciao a tutti, ho qualche problema (più di uno...) nell'applicazione della formula di Hermite (per la scomposizione di funzioni razionali in fratti semplici) nella funzione $f(x)=1/(x^2+5/4)$
Infatti, la funzione non ha radici reali.
Quindi la prima parte della formula di Hermite (quella $A_1/(x-x_0)+A_2/(x-x_1)$...) non esiste, vero?
La seconda parte viene appunto $(Bx+C)/(x^2+5/4)$ giusto?
E ho un dubbio sul termine in derivata: l'unico termine che abbiamo ha molteplicità 1, quindi è giusto dire che al denominatore di deve essere lo stesso polinomio elevato alla 0 (quindi 1) e al numeratore un polinomio di grado -1?
E, cosa ancora più orribile di cui non riesco a capacitarmi, effettuando il sistema per ricavare i coefficienti, mi vengono coefficienti in modo che la funzione si riconduce esattamente alla forma originaria $f(x)=1/(x^2+5/4)$ !!!
Lo so che è un integrale semplicissimo che si risolve facilmente come somma di quadrati al denominatore, ma volevo applicare Hermite.
Vi ringrazio dell'attenzione.
Fabio
Infatti, la funzione non ha radici reali.
Quindi la prima parte della formula di Hermite (quella $A_1/(x-x_0)+A_2/(x-x_1)$...) non esiste, vero?
La seconda parte viene appunto $(Bx+C)/(x^2+5/4)$ giusto?
E ho un dubbio sul termine in derivata: l'unico termine che abbiamo ha molteplicità 1, quindi è giusto dire che al denominatore di deve essere lo stesso polinomio elevato alla 0 (quindi 1) e al numeratore un polinomio di grado -1?
E, cosa ancora più orribile di cui non riesco a capacitarmi, effettuando il sistema per ricavare i coefficienti, mi vengono coefficienti in modo che la funzione si riconduce esattamente alla forma originaria $f(x)=1/(x^2+5/4)$ !!!
Lo so che è un integrale semplicissimo che si risolve facilmente come somma di quadrati al denominatore, ma volevo applicare Hermite.
Vi ringrazio dell'attenzione.
Fabio
Risposte
La formula di Hermite è uno strumento molto potente, che permette di scrivere una funzione razionale fratta come somma di una funzione razionale fratta e della derivata di una funzione razionale fratta (è molto utile ad esempio quando bisogna antitrasformare secondo Laplace delle funzioni razionali fratte che presentano denominatori ostici). La formula di Hermite differisce dalla consueta decomposizione in fratti semplici quando il denominatore della funzione da decomporre presenta zeri multipli (generalmente complessi... in tal caso, infatti, se invece si volessero usare i residui si dovrebbe calcolare due volte il residuo relativo a un trinomio col delta negativo). Nel tuo caso ciò non avviene, dunque non ha senso utilizzare la formula di Hermite, poiché la decomposizione secondo Hermite coincide con la solita decomposizione in fratti semplici.
Ricordati che, dato $alpha in RR\\{0}$ si ha:
$int (dx)/(x^2 + alpha^2) = 1/alpha arc tg(x/alpha)
$int (dx)/(x^2 + alpha^2) = 1/alpha arc tg(x/alpha)
Ho un altro dubbio...
Consideriamo l'equazione
$7x^5-5x^4-10x^3+3x=0$
Una soluzione è evidentemente 0:
$x*(7x^4-5x^3-10x^2+3)=0$
Il polinomio in parentesi è sempre positivo. Infatti il massimo della funzione si ottiene f(0)=3 e entrambi i minimi sono positivi. Quindi non ha radici reali. E allora...? Come si fa a scomporre ulteriormente il polinomio?
Grazie
Fabio
Consideriamo l'equazione
$7x^5-5x^4-10x^3+3x=0$
Una soluzione è evidentemente 0:
$x*(7x^4-5x^3-10x^2+3)=0$
Il polinomio in parentesi è sempre positivo. Infatti il massimo della funzione si ottiene f(0)=3 e entrambi i minimi sono positivi. Quindi non ha radici reali. E allora...? Come si fa a scomporre ulteriormente il polinomio?
Grazie
Fabio
Non si può... Se non ha radici reali...
E non si possono trovare le radici complesse non reali? Cioè, quando un polinomio non ha zeri reali, cosa se ne fa di questo poveretto? 
(premetto che i numeri immaginari non li abbiamo mai trattati approfonditamente, quindi non linciatemi...)
Fabio
(premetto che i numeri immaginari non li abbiamo mai trattati approfonditamente, quindi non linciatemi...)
Fabio
Neanche io li ho trattati approfonditamente...
Comunque direi che non puoi fare nulla,
trovare le radici complesse poi potrebbe
essere VERAMENTE complicato!
Comunque direi che non puoi fare nulla,
trovare le radici complesse poi potrebbe
essere VERAMENTE complicato!
E perché mai non si potrebbe scomporre un polinomio a radici complesse?
Divertitevi voi, io non lo so fare... ^^
Trovare le radici complesse è né più né meno difficile che trovare quelle reali. Tra l'altro mi pare che la regola di Ruffini per la scomposizione dei polinomi valga per qualunque insieme di polinomi su un campo (se non erro i polinomi su un campo numerico formano un anello), quindi non vedo perché non si potrebbe prendere il campo complesso. Ovviamente, se si cerca una scomposizione reale, si accoppieranno le radici complesse coniugate moltiplicando i fattori corrispondenti per avere trinomi (o binomi) di secondo grado a delta negativo. Inoltre l'esistenza degli zeri, o cmq di almeno uno zero, per polinomi di grado positivo nel campo complesso è garantita dal teorema fondamentale dell'algebra; per dimostrarlo però bisogna introdurre il concetto di funzione olomorfa.
Un caso molto semplice di scomposizione di un binomio a radici complesse è : $ x^2+1 = ( x+i)(x-i)$; nel caso invece in esame, polinomio di quinto grado, è assai difficile trovare le radici, a parte la radice x=0 .
Resta infatti da risolvere una equazione di quarto grado : la formula risolutiva (per radicali) esiste ma non è semplice.
Va inoltre detto che in una equazione algebrica se una radice è complessa e vale $a+ib$ allora anche il numero complesso coniugato $ a-ib $ è radice dell'equazione .
Quindi le soluzioni complesse vanno sempre a coppie, non possono mai essere in numero dispari.
L'equazione di quarto grado in oggetto , che non ha radici reali come dimostrato da Saturn, ha dunque due soluzioni complesse insieme alle loro coniugate.
Per scriverle però, Derive impiega 17 righe !!
Resta infatti da risolvere una equazione di quarto grado : la formula risolutiva (per radicali) esiste ma non è semplice.
Va inoltre detto che in una equazione algebrica se una radice è complessa e vale $a+ib$ allora anche il numero complesso coniugato $ a-ib $ è radice dell'equazione .
Quindi le soluzioni complesse vanno sempre a coppie, non possono mai essere in numero dispari.
L'equazione di quarto grado in oggetto , che non ha radici reali come dimostrato da Saturn, ha dunque due soluzioni complesse insieme alle loro coniugate.
Per scriverle però, Derive impiega 17 righe !!
Sì è molto difficile infatti, però credo si debba operare esattamente come si fa nel campo reale. Ci sono tantissimi polinomi a zeri reali (magari frazioni o somma di una frazione e un irrazionale) che non sono affatto più semplici da scomporre.
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