Formula di Hermite.
Buon pomeriggio,
sto studiando gli integrali delle funzioni razionali, sono arrivato al caso generale, ovvero alla formula di Hermite.
Quest'ultima non mi è molto chiara, so a cosa serve "almeno lo spero", vi propongo quella che è riportata sul mio libro.
Siano due polinomi $P:mathbb{R}to mathbb{R}$ e $Q:mathbb{R}to mathbb{R}$ di grado rispettivamente di grado $n,m in mathbb{N}$ con $n
dove
$S(x)=((T(x))/((x-x1)^(h_1-1)---(x-x_p)^(h_p-1)(x^2+c_1x+d)^(k_1)---x^2+c_qx+d)^(k_q-1))$
Vorrei capire il senso del termine $S(x)$,
sto studiando gli integrali delle funzioni razionali, sono arrivato al caso generale, ovvero alla formula di Hermite.
Quest'ultima non mi è molto chiara, so a cosa serve "almeno lo spero", vi propongo quella che è riportata sul mio libro.
Siano due polinomi $P:mathbb{R}to mathbb{R}$ e $Q:mathbb{R}to mathbb{R}$ di grado rispettivamente di grado $n,m in mathbb{N}$ con $n
dove
$S(x)=((T(x))/((x-x1)^(h_1-1)---(x-x_p)^(h_p-1)(x^2+c_1x+d)^(k_1)---x^2+c_qx+d)^(k_q-1))$
Vorrei capire il senso del termine $S(x)$,
Risposte
Il fatto è questo: una funzione razionale con numeratore di grado minore del denominatore si può scomporre nella somma di fratti del tipo $A/(x - x_0)$, $(B x + C)/(x^2 + p_0 x + q_0)$ (con $p_0^2 - 4 q_0 <0$) e di un termine che è la derivata di una funzione razionale.
si esatto, questo lo so ma non riesco a vedere la connessione che c'è tra una scomposizione di una funzione razionale, con l'aggiunta del termine $S'$, mi spiego meglio:
se ho una funzione razionale$P/Q$ voglio scriverla come somma di funzioni razionali, in particolare associo ad ogni soluzione reale $x_i$ un addendo del tipo $A_i/(x-x_i)$ dove $i=1,...,p$ e ad ogni coppia di soluzioni complesse coniugate un addendo del tipo $(B_ix+C_i)/(x^2+c_ix+d_i)$ dove $i=1,...,q$.
Ora se vi sono soluzioni reali o complesse con molteplicità maggiori di $1$ bisogna aggiungere $S'$ che sarebbe la derivata del termine da me posto nel primo messaggio.
Vorrei capire il senso di $S'$ e come faccio a vedere questo
$(P(x))/(Q(x))=sum_(i=1)^p (A_i)/(x-x_i)+sum_(i=1)^q (B_ix+C_i)/(x^2+b_ix+c)+S'(x)$.
se ho una funzione razionale$P/Q$ voglio scriverla come somma di funzioni razionali, in particolare associo ad ogni soluzione reale $x_i$ un addendo del tipo $A_i/(x-x_i)$ dove $i=1,...,p$ e ad ogni coppia di soluzioni complesse coniugate un addendo del tipo $(B_ix+C_i)/(x^2+c_ix+d_i)$ dove $i=1,...,q$.
Ora se vi sono soluzioni reali o complesse con molteplicità maggiori di $1$ bisogna aggiungere $S'$ che sarebbe la derivata del termine da me posto nel primo messaggio.
Vorrei capire il senso di $S'$ e come faccio a vedere questo
$(P(x))/(Q(x))=sum_(i=1)^p (A_i)/(x-x_i)+sum_(i=1)^q (B_ix+C_i)/(x^2+b_ix+c)+S'(x)$.
Con una dimostrazione piuttosto brutta... Si prova che quando al denominatore ci sono fattori con molteplicità $>1$, tutti i fratti semplici relativi ai denominatori con molteplicità possono essere condensati in un unico termine, il quale a sua volta può essere scritto come derivata di un’opportuna funzione razionale.
Va bene, dopo questa affermazione mi sono un pò demoralizzato
perchè se è brutta per te, pensa per me
comunque non si può trovare nulla a riguardo,su internet ho cercato ma non ho trovato nulla, cosi giusto per vedere.
Grazie
"gugo82":
Con una dimostrazione piuttosto brutta...
perchè se è brutta per te, pensa per me
comunque non si può trovare nulla a riguardo,su internet ho cercato ma non ho trovato nulla, cosi giusto per vedere.
Grazie
Semplicemente sono contazzi che nessuno vuole più fare... 
Tra l’altro, ho idea che la cosa si faccia più facilmente passando dal campo complesso che non rimanendo nel reale.
Ci pensò un po’ e, se trovo una dimostrazione semplice, te la propongo.
Tra l’altro, ho idea che la cosa si faccia più facilmente passando dal campo complesso che non rimanendo nel reale.
Ci pensò un po’ e, se trovo una dimostrazione semplice, te la propongo.
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