Formula di Gauss Green
Sia $ ω(x,y) = (16x^3-8y^3)dx + (8x^3+y^3)dy $ definita su $ D = { (x,y) in RR^" | x^2+y^2<=4, x>=0, y>=0}
Si chiede di calcolare, utilizzando la formula di Gauss-Green, l'integrale di ω lungo il bordo di D percorso una sola volta in senso antiorario.
Come procedo ?
Si chiede di calcolare, utilizzando la formula di Gauss-Green, l'integrale di ω lungo il bordo di D percorso una sola volta in senso antiorario.
Come procedo ?
Risposte
Usa esattamente la formula di Gauss-Green piana, passerai da un integrale di linea ad un integrale doppio su D.
Parametrizzo D come segue
$ { x = ρcosθ , y = ρsenθ} $ con $ 0<=ρ<=2$ e $0<=θ<=π/2 $
$int int_("Bordo di D") (d/dx b-d/dy a)dxdy$
Sostituendo ed inserendo la Jacobiano ottengo $24int_0^(π/2) dθ int_0^2 ρ^3 dρ = 23/π $
Pensate vada bene ?
Grazie
$ { x = ρcosθ , y = ρsenθ} $ con $ 0<=ρ<=2$ e $0<=θ<=π/2 $
$int int_("Bordo di D") (d/dx b-d/dy a)dxdy$
Sostituendo ed inserendo la Jacobiano ottengo $24int_0^(π/2) dθ int_0^2 ρ^3 dρ = 23/π $
Pensate vada bene ?
Grazie
L'integrale doppio che hai scritto è su $D$, non sul suo bordo. Sul bordo di $D$ c'era l'integrale della forma $\omega$...
Poi il risultato non mi torna, sicuro di quel $23/\pi$?
Poi il risultato non mi torna, sicuro di quel $23/\pi$?
23 pi greco mi viene.
Ma quando applico la formula non devo calcolare l'integrale doppio su D ?? Come ho fatto è sbagliato ? Mi spiego meglio la formula non mi permette di agirare il problema della forma del dominio calcolando solo il volume di quella speciale funzione costruita sul dominio stesso ?
Grazie
Ma quando applico la formula non devo calcolare l'integrale doppio su D ?? Come ho fatto è sbagliato ? Mi spiego meglio la formula non mi permette di agirare il problema della forma del dominio calcolando solo il volume di quella speciale funzione costruita sul dominio stesso ?
Grazie
Si', appunto, devo calcolare l'integrale doppio su $D$, ma tu hai scritto l'integrale doppio esteso al bordo di $D$..., anche se poi la riduzione va bene.
Non capisco le tue parole poi: cosa intendi per volume della funzione???
Infine a me il 23 non mi viene, c'è un 24 fuori....
Non capisco le tue parole poi: cosa intendi per volume della funzione???
Infine a me il 23 non mi viene, c'è un 24 fuori....
Parametrizzo D come segue
$ { x = ρcosθ , y = ρsenθ} $ con $ 0<=ρ<=2$ e $0<=θ<=π/2 $
$int int_("D") (d/dx b-d/dy a)dxdy$
$int int_("D") (24x^2+24y^2)dxdy$
$24 int int_("D") (x^2+y^2)dxdy$ sostituisco ora con la parametrizzazione ricordandomi lo Jacobiano della trasformazione che è ρ
$24 int int_("D") ((ρcosθ)^2+(ρsenθ)^2)ρ dρdθ$
$24 int int_("D") ρ^3 dρdθ$
Applicando la regola di iterazione posso scrivere $24int_0^(π/2) dθ int_0^2 ρ^3 dρ$
$24int_0^(π/2) [ρ^4/4]_0^2 dθ $
$96int_0^(π/2) dθ = 48 π$
Giusto ? adesso ?
$ { x = ρcosθ , y = ρsenθ} $ con $ 0<=ρ<=2$ e $0<=θ<=π/2 $
$int int_("D") (d/dx b-d/dy a)dxdy$
$int int_("D") (24x^2+24y^2)dxdy$
$24 int int_("D") (x^2+y^2)dxdy$ sostituisco ora con la parametrizzazione ricordandomi lo Jacobiano della trasformazione che è ρ
$24 int int_("D") ((ρcosθ)^2+(ρsenθ)^2)ρ dρdθ$
$24 int int_("D") ρ^3 dρdθ$
Applicando la regola di iterazione posso scrivere $24int_0^(π/2) dθ int_0^2 ρ^3 dρ$
$24int_0^(π/2) [ρ^4/4]_0^2 dθ $
$96int_0^(π/2) dθ = 48 π$
Giusto ? adesso ?
Adesso è completo e corretto.
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