Formula di Eulero uguaglianza

[ludwigZero]

Salve

Ho un piccolo dubbio riguardo la risoluzione di:

$e^(i \alpha x) = 1$

so che potrei trasformarlo nella formula di Eulero, ma credo sia superfluo, la soluzione su wolframalpha è:

$\alpha x = 2 n \pi$

Io avrei semplicemente risolto con $\alpha x = n \pi$ .... dato che di questo programma non mi fido molto, potete dirmi se è giusta la mia risoluzione?


grazie

[anto_zoolander]

Fidati wolframalpha ti è amico... ma volendo possiamo supporre falso il suo risultato

$e^(i(αx))=1$ sostanzialmente è banale.
$1=cos(0)+isin(0)$
Dall'uguaglianza $e^(i(0))=cos(0)+isin(0)$
Possiamo notare che vale $e^(i(αx))=e^(i(0))$ potremmo tranquillamente concludere che $αx=0+2nπ$ ma dimostriamolo un po' meglio facendo questa uguaglianza

$cos(αx)+isin(αx)=cos(0)+isin(0)$ abbiamo a che fare con l'uguaglianza di $z_1=z_2$ che sono due numeri complessi.
Per l'uguaglianza di due complessi vale la seguente relazione: due numeri complessi sono uguali se hanno parte reale e parte immaginaria uguale.
$cos(αx)=cos(0) forall αx=0+2nπ$
$sin(αx)=sin(0) forall αx=0+2nπ$

volendo potremmo portarci un passo avanti imponendo $αne0$
$x=(2πn)/α$

Il risultato da te ottenuto non va bene perchè basta che prendi $n=1$ già l'uguaglianza non è verificata, infatti:
$n=1 => x=π/α$ supponendo che valga $e^(i(α(π/α)))=1$
mentre si ha $e^(i(π))=cos(π)+isin(π)=-1(ne1)$ ottenendo una contraddizione. Che tra l'altro si otterrebbe per ogni $n$ dispari.

Spero di esserti stato d'aiuto.