Formula di Cauchy (analisi complessa)
Ho un dubbio sulla formula di Cauchy per gli integrali della variabile complessa:
Sugli appunti ho scritto che presa la forma differenziale chiusa $ w = 1 / (z - z_o) dz $ nell'aperto connesso $CC\setminus{z_0}$ e preso il cammino $\gamma (t) = z_0 + r e^(it)$ per $t$ che varia tra $0$ e $2pi$, l'integrale $int_(\gamma ) w$ è $i*2pi$, indipendentemente dal raggio scelto $r$ del cammino $\gamma$ (che è il bordo di un disco). Ma siccome $w$ è chiusa, esiste un intorno abbastanza piccolo dove è esatta... se prendessi un disco di raggio abbastanza piccolo da essere tutto incluso nell'intorno, l'integrale precedentemente scritto dovrebbe annullarsi (in quanto una forma esatta ha integrale nullo su ogni cammino chiuso)... ma non dipendendo dal raggio deve comunque fare $i*2pi$.
Dove ho commesso l'errore?
Sugli appunti ho scritto che presa la forma differenziale chiusa $ w = 1 / (z - z_o) dz $ nell'aperto connesso $CC\setminus{z_0}$ e preso il cammino $\gamma (t) = z_0 + r e^(it)$ per $t$ che varia tra $0$ e $2pi$, l'integrale $int_(\gamma ) w$ è $i*2pi$, indipendentemente dal raggio scelto $r$ del cammino $\gamma$ (che è il bordo di un disco). Ma siccome $w$ è chiusa, esiste un intorno abbastanza piccolo dove è esatta... se prendessi un disco di raggio abbastanza piccolo da essere tutto incluso nell'intorno, l'integrale precedentemente scritto dovrebbe annullarsi (in quanto una forma esatta ha integrale nullo su ogni cammino chiuso)... ma non dipendendo dal raggio deve comunque fare $i*2pi$.
Dove ho commesso l'errore?
Risposte
Pensa che per $z=z_0$ la tua forma differenziale non è proprio definita e l'hai scritto anche tu.
Ricordo che si parlava di integrali su curve chiuse di forme differenziali esatte tenendo in conto che tali curve chiuse devono essere contenute del dominio delle forme differenziali; ma forse mi sbaglio dato che di analisi II sono up con le funzioni a più variabili mentre in tutto il resto down...
Per il resto quella curva chiusa contiene la singolarità quindi non credo che ci sia una contraddizione in quanto non dovrebbero valere quelle cose proprio perché la curva chiusa racchiude un insieme "più ampio" di quello di definizione della forma differenziale.
Dunque
che però non deve essere un intorno di $z_0$ poiché non è nel dominio, dovrebbe essere questa la magagna che fa sballare il ragionamento (come ho detto poco sopra).
Ricordo che si parlava di integrali su curve chiuse di forme differenziali esatte tenendo in conto che tali curve chiuse devono essere contenute del dominio delle forme differenziali; ma forse mi sbaglio dato che di analisi II sono up con le funzioni a più variabili mentre in tutto il resto down...
Per il resto quella curva chiusa contiene la singolarità quindi non credo che ci sia una contraddizione in quanto non dovrebbero valere quelle cose proprio perché la curva chiusa racchiude un insieme "più ampio" di quello di definizione della forma differenziale.
Dunque
"nuwanda":
siccome $ w $ è chiusa, esiste un intorno abbastanza piccolo dove è esatta...
che però non deve essere un intorno di $z_0$ poiché non è nel dominio, dovrebbe essere questa la magagna che fa sballare il ragionamento (come ho detto poco sopra).