Formula di analisi complessa, che ne pensate?
Salve! 
Vorrei proporvi una formula di analisi complessa (penso inedita) che ho dimostrato recentemente. Vi posto la dimostrazione, un po' di calcoli, niente più niente meno (così mi potrete dire se ho preso un abbaglio, e magari anche aiutarmi a "rigorosizzarla"
)... Non penso sia niente di che, magari però potrebbe servire a qualcosa, parere agli esperti quindi! (non io!!!!)
Sia $f$ una funzione olomorfa in un aperto $\Omega$, allora vale la seguente relazione:
$\(f'(z))/(f(z))=(d)/(dy)arg[f(z)]+i(d)/(dx)arg[f(z)]$
dove $arg[f(z)]$ è l'argomento di $f$
che ne dite? è una stupidaggine? è ovvia? è sbagliata? mi ritiro dal mondo della matematica?
Vorrei proporvi una formula di analisi complessa (penso inedita) che ho dimostrato recentemente. Vi posto la dimostrazione, un po' di calcoli, niente più niente meno (così mi potrete dire se ho preso un abbaglio, e magari anche aiutarmi a "rigorosizzarla"
)... Non penso sia niente di che, magari però potrebbe servire a qualcosa, parere agli esperti quindi! (non io!!!!)Sia $f$ una funzione olomorfa in un aperto $\Omega$, allora vale la seguente relazione:
$\(f'(z))/(f(z))=(d)/(dy)arg[f(z)]+i(d)/(dx)arg[f(z)]$
dove $arg[f(z)]$ è l'argomento di $f$
che ne dite? è una stupidaggine? è ovvia? è sbagliata? mi ritiro dal mondo della matematica?
Risposte
Qualcosa di vero c'è, ma la tua dimostrazione è eccessivamente complicata. Io direi: siccome
\[\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{d}{dz}\left( \log f(z)\right) =\frac{d}{dz}\left( \log \lvert f(z)\rvert + i \arg f(z)\right),\]
applicando formalmente la formula
\[\frac{dF}{dz}=\frac{\partial V}{\partial y}+ i \frac{\partial V}{\partial x}, \qquad (F=U+iV)\]
valida per funzioni olomorfe \(F\) (nel caso specifico \(F=\log(f)\)) e conseguenza delle equazioni di Cauchy Riemann [size=80](*)[/size], ricaviamo il risultato atteso
\[\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{\partial \arg(f(z))}{\partial y} + i \frac{\partial \arg(f(z))}{\partial x}.\]
"Formalmente" perché stiamo omettendo alcuni dettagli tecnici: intanto la formula vale nelle \(z\) tali che \(f(z)\ne 0\), ovviamente; ma poi c'è anche da specificare una determinazione per l'argomento complesso altrimenti avremmo una funzione univoca ad un membro ed una multivoca all'altro.
A parte questi fatti, la formula è secondo me vera. "Inedita" però è una parola grossa, come dicevamo nell'altro topic. E' stato un buon esercizio, sicuramente.
_____________
(*) A questo proposito, segnalo anche qui il paragrafo 5-1 (primo del quinto capitolo) di Visual Complex Analysis di Needham.
\[\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{d}{dz}\left( \log f(z)\right) =\frac{d}{dz}\left( \log \lvert f(z)\rvert + i \arg f(z)\right),\]
applicando formalmente la formula
\[\frac{dF}{dz}=\frac{\partial V}{\partial y}+ i \frac{\partial V}{\partial x}, \qquad (F=U+iV)\]
valida per funzioni olomorfe \(F\) (nel caso specifico \(F=\log(f)\)) e conseguenza delle equazioni di Cauchy Riemann [size=80](*)[/size], ricaviamo il risultato atteso
\[\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{\partial \arg(f(z))}{\partial y} + i \frac{\partial \arg(f(z))}{\partial x}.\]
"Formalmente" perché stiamo omettendo alcuni dettagli tecnici: intanto la formula vale nelle \(z\) tali che \(f(z)\ne 0\), ovviamente; ma poi c'è anche da specificare una determinazione per l'argomento complesso altrimenti avremmo una funzione univoca ad un membro ed una multivoca all'altro.
A parte questi fatti, la formula è secondo me vera. "Inedita" però è una parola grossa, come dicevamo nell'altro topic. E' stato un buon esercizio, sicuramente.
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(*) A questo proposito, segnalo anche qui il paragrafo 5-1 (primo del quinto capitolo) di Visual Complex Analysis di Needham.
Insomma! mi sono fatto un bel viaggio
comunque, volevo fare una considerazione:
Tu utilizzi il logaritmo complesso per la dimostrazione, il problema però, come accennavi, è che se $|f|=0$, allora $log|f|$ non è definito. Però dimostrando la formula derivando l'argomento (se ovviamente non si comporta in modo "strano" in quello stesso punto) non si hanno problemi, come per il caso dell'altro post. In quel caso infatti, usando il logaritmo, c'è sempre la possibilità che il modulo vada a 0, e che quindi $log|f|$ non sia definito, al contrario invece, la fase è sempre ben definita, e vale sempre $0$, di conseguenza in $f=0$ non ho nessuna ambiguità, semplicemente si ha $\f'=f(d/(dy)Argf+d/(dx)Argf)$.
Comunque sia, questa è solo una conclusione del fatto che $d/(dy)Argf=(d/(dx)|f|)/(|f|)$ e $d/(dx)Argf=-(d/(dy)|f|)/(|f|)$
Secondo me ci si può spingere qualcosina su questa cosa. Tu cosa ne pensi?
comunque, volevo fare una considerazione:
Tu utilizzi il logaritmo complesso per la dimostrazione, il problema però, come accennavi, è che se $|f|=0$, allora $log|f|$ non è definito. Però dimostrando la formula derivando l'argomento (se ovviamente non si comporta in modo "strano" in quello stesso punto) non si hanno problemi, come per il caso dell'altro post. In quel caso infatti, usando il logaritmo, c'è sempre la possibilità che il modulo vada a 0, e che quindi $log|f|$ non sia definito, al contrario invece, la fase è sempre ben definita, e vale sempre $0$, di conseguenza in $f=0$ non ho nessuna ambiguità, semplicemente si ha $\f'=f(d/(dy)Argf+d/(dx)Argf)$.
Comunque sia, questa è solo una conclusione del fatto che $d/(dy)Argf=(d/(dx)|f|)/(|f|)$ e $d/(dx)Argf=-(d/(dy)|f|)/(|f|)$
Secondo me ci si può spingere qualcosina su questa cosa. Tu cosa ne pensi?
No ma guarda, nei punti in cui \(f(z)=0\) la formula ha sicuramente problemi. Se fosse vera, infatti, potresti dire che \(f(z)=0 \Rightarrow f'(z)=0\) e questo è banalmente falso.
non so, magari è falso perché $d/(dy)Argf+id/(dx)Argf$ ha un polo in quel punto, quindi se $f=0$ non è detto che $f(d/(dy)Argf+id/(dx)Argf)$ sia nullo, apparte casi particolari.
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