Formula chiusa per serie di coseni (e seni)
Ho notato che ci sono state alcune richieste da parte di utenti che domandavano aiuto nello studio di serie che presentano nel termine generale dei coseni o dei seni. Fatti due calcoli mi sono reso conto che non è sempre facile trattare questo genere di serie, indi per cui ho cercato di trovare una formula chiusa per la serie di coseni (non che sia una gran cosa, eh).
Posto le conclusioni a cui sono pervenuto, in modo tale che qualche utente possa forse trarne qualche piccolo giovamento.
Ricordo innanzitutto che \[\displaystyle \cos \theta=\frac{e^{\theta i} + e^{-\theta i}}{2} \]
Si ha quindi \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \cos k=\frac{e^{i} + e^{-i}}{2} + \frac{e^{2i} + e^{-2i}}{2}+...+\frac{e^{ni} + e^{-ni}}{2}= \]
\[\displaystyle =\frac{1}{2}(e^{i} + e^{2i} + e^{3i} + ...+e^{ni}) + \frac{1}{2} ( e^{-i} + e^{-2i} + ... +e^{-ni})= \]
\[\displaystyle =\frac{1}{2} \left( \frac{1 - e^{(n+1)i}}{1-e^{i}} + \frac{1-e^{-(n+1)i}}{1-e^{-i}} \right)= \]
\[\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{1 - e^{-i} - e^{(n+1)i} + e^{ni} + 1 -e^{-(n+1)i} - e^{i} + e^{-ni}}{(1-e^{i})(1-e^{-i})} \right)= \]
\[\displaystyle =\frac{1}{2} \left(\frac{2 - (e^{i} + e^{-i}) + e^{ni} + e^{-ni} - (e^{(n+1)i} + e^{-(n+1)i})}{2 - (e^{i} + e^{-i})} \right)= \]
\[\displaystyle =\frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 1 + \cos n - \cos(n+1)}{1 - \cos1} \right)=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos n - \cos(n+1)}{1 - \cos 1} \]
La strada per la minorazione di \(\displaystyle \left | \sum_{k=1}^{n} \cos k \right| \) è indi tracciata.
Posto le conclusioni a cui sono pervenuto, in modo tale che qualche utente possa forse trarne qualche piccolo giovamento.
Ricordo innanzitutto che \[\displaystyle \cos \theta=\frac{e^{\theta i} + e^{-\theta i}}{2} \]
Si ha quindi \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \cos k=\frac{e^{i} + e^{-i}}{2} + \frac{e^{2i} + e^{-2i}}{2}+...+\frac{e^{ni} + e^{-ni}}{2}= \]
\[\displaystyle =\frac{1}{2}(e^{i} + e^{2i} + e^{3i} + ...+e^{ni}) + \frac{1}{2} ( e^{-i} + e^{-2i} + ... +e^{-ni})= \]
\[\displaystyle =\frac{1}{2} \left( \frac{1 - e^{(n+1)i}}{1-e^{i}} + \frac{1-e^{-(n+1)i}}{1-e^{-i}} \right)= \]
\[\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{1 - e^{-i} - e^{(n+1)i} + e^{ni} + 1 -e^{-(n+1)i} - e^{i} + e^{-ni}}{(1-e^{i})(1-e^{-i})} \right)= \]
\[\displaystyle =\frac{1}{2} \left(\frac{2 - (e^{i} + e^{-i}) + e^{ni} + e^{-ni} - (e^{(n+1)i} + e^{-(n+1)i})}{2 - (e^{i} + e^{-i})} \right)= \]
\[\displaystyle =\frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 1 + \cos n - \cos(n+1)}{1 - \cos1} \right)=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos n - \cos(n+1)}{1 - \cos 1} \]
La strada per la minorazione di \(\displaystyle \left | \sum_{k=1}^{n} \cos k \right| \) è indi tracciata.
Risposte
Forse volevi scrivere $sum_(n = 1)^k cos(n)$ ...
Sì Seneca, ho corretto.
@Paolo90: grazie per la segnalazione. Questo è un esercizio che proviene dal Courant&Robbins ( - testo che forse a molti parrà banale o semplice, ma che secondo me conserva un certo fascino).
Spero che questo fatto possa tornare utile a qualcuno.
@Paolo90: grazie per la segnalazione. Questo è un esercizio che proviene dal Courant&Robbins ( - testo che forse a molti parrà banale o semplice, ma che secondo me conserva un certo fascino).
Spero che questo fatto possa tornare utile a qualcuno.
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