Formula baricentro?
Salve! Non capisco questa formula riguardante il baricentro...
$(int_a^b f^2(x) dx )/ ( 2*int_a^b f(x) dx)$
Qualcuno sa dirmi come si ricava e soprattutto cosa indicano il numeratore e denominatore?
Grazie
$(int_a^b f^2(x) dx )/ ( 2*int_a^b f(x) dx)$
Qualcuno sa dirmi come si ricava e soprattutto cosa indicano il numeratore e denominatore?
Grazie
Risposte
Ma [tex]f(x)[/tex] sarebbe? Perché così come è scritta, se dici che è una formula per il calcolo del baricentro, sembrerebbe una densità lineare.... ma non capisco allora il termine quadratico nell'integrale a numeratore. Dove l'hai pescata?
"ciampax":
Ma [tex]f(x)[/tex] sarebbe? Perché così come è scritta, se dici che è una formula per il calcolo del baricentro, sembrerebbe una densità lineare.... ma non capisco allora il termine quadratico nell'integrale a numeratore. Dove l'hai pescata?
dimostrazione teorema di Guldino...senza integrali tripli...
Sia $f$ una funzione continua e positiva nell'intervallo $[a,b]$ e tale che $f(a)=f(b)=0$.
L' ordinata del baricentro della regione piana limitata dalla curva e dal segmento congiungente i punti $(a, 0)$ e $(b, 0)$ è
$G = (int_a^b f^2(x) dx) / ( 2 int_a^b f(x) dx)$.
L' area della regione di piano è
$A = int_a^b f(x) dx$.
Il volume del solido di rotazione è
$V = pi int_a^b f^2(x) dx$
Dalle precedenti equazioni risulta subito
$V = A 2 pi G.$
Ah ok, quindi [tex]f(x)[/tex] è la curva che delimita la figura di cui calcolare il baricentro. Ma allora devi calcolare il baricentro del solido di rotazione?
"ciampax":
Ah ok, quindi [tex]f(x)[/tex] è la curva che delimita la figura di cui calcolare il baricentro. Ma allora devi calcolare il baricentro del solido di rotazione?
Si ma io so che la formula del baricentro si calcola con un integrale doppio, cioè:
Se D è un dominio normale del piano, il punto di coordinate $(x_0, y_0)$ con
$x_0 = frac{1}{m(D)} * int int_D x dx dy $
$y_0 = frac{1}{m(D)} * int int_D y dx dy$
prende il nome di baricentro.
Ora nella formula di $G$ penso che sia:
$m(D) = int_a ^b f(x) dx$
in quanto misura l'area...
ma il numeratore da dove esce fuori?
Quello che sai è che la coordinata [tex]y_G[/tex] del baricentro è data da
[tex]$y_G=\frac{1}{M}\iint_D y\ dx\ dy$[/tex] con [tex]$M=\iint_D dx\ dy$[/tex]
Nel caso particolare in cui la regione [tex]D[/tex] sia delimitata dalla curva [tex]$f(x)$[/tex], l'asse delle ascisse e le rette [tex]x=a,\ x=b,\ a
[tex]$M=\int_a^b\int_0^{f(x)}\ dy\ dx=\int_a^b f(x)\ dx$[/tex]
[tex]$y_G=\frac{1}{M}\int_a^b\int_0^{f(x)} y\ dy\ dx=\frac{1}{M}\int_a^b\frac{[f(x)]^2}{2}\ dx$[/tex]
Ecco la tua formula.
[tex]$y_G=\frac{1}{M}\iint_D y\ dx\ dy$[/tex] con [tex]$M=\iint_D dx\ dy$[/tex]
Nel caso particolare in cui la regione [tex]D[/tex] sia delimitata dalla curva [tex]$f(x)$[/tex], l'asse delle ascisse e le rette [tex]x=a,\ x=b,\ a
[tex]$M=\int_a^b\int_0^{f(x)}\ dy\ dx=\int_a^b f(x)\ dx$[/tex]
[tex]$y_G=\frac{1}{M}\int_a^b\int_0^{f(x)} y\ dy\ dx=\frac{1}{M}\int_a^b\frac{[f(x)]^2}{2}\ dx$[/tex]
Ecco la tua formula.
Chiaro.. grazie! Gentilissimo 
Prego è stato un piacere. Posso permettermi di darti un consiglio? Quando poni una domanda, spiega subito (anche se ti risulta lungo da scrivere) tutto quello che sai e che conosci del problema. Ti assicuro che risulta più semplice ottenere prima una risposta.
"ciampax":
Prego è stato un piacere. Posso permettermi di darti un consiglio? Quando poni una domanda, spiega subito (anche se ti risulta lungo da scrivere) tutto quello che sai e che conosci del problema. Ti assicuro che risulta più semplice ottenere prima una risposta.
Lo farò
Salve
E se si vuole il baricentro di un insieme di n punti in un piano cartesiano
$ (X_1,Y_1),(X_2,Y_2),...,(X_n,Y_n) $ ?
E se si vuole il baricentro di un insieme di n punti in un piano cartesiano
$ (X_1,Y_1),(X_2,Y_2),...,(X_n,Y_n) $ ?
Buon giorno a tutti,
sono nuovo del Forum. L'argomento di questo messaggio mi interessa perché è collegato al mio interesse per l'aerodinamica degli aerei.
Vengo al sodo.
La formula:
$y_G=\frac{1}{M}\int_a^b\int_0^{f(x)} y\ dy\ dx=\frac{1}{M}\int_a^b\frac{[f(x)]^2}{2}\ dx $
non è in discussione.
Supponiamo ora che la $f(x)$ rappresenti - in pianta - il Bordo di entrata della semiala di un ipotetico aereo (la fusoliera sta sull'asse delle y) e che l'asse delle x rappresenti il Bordo di uscita. Poniamo $a = 0$. $b$ è l'apertura della semiala. $M$ è la superficie della semiala.
I sacri testi di aerodinamica dicono che la formula:
$ CMA =\frac{1}{M}\int_0^b\[f(x)]^2\ dx $
rappresenta la lunghezza della "Corda" (cioè la distanza fra il Bodo di entrata e il Bordo di uscita) che passa per il centro di figura della semiala.
$CMA$ sta per Corda Media Aerodinamica.
La $f(x)$ è la legge di variazione della corda lungo l'apertura alare.
La questione andrebbe generalizzata ponendo $f(x) = g(x) - h(x)$ dove $g(x)$ e $h(x)$ sono le funzioni che definiscono la linea del bordo di entrata e del bordo di uscita. A meno di miei pasticci con le formule, l'ordinata del centro di figura della semiala è:
$y_G=\frac{1}{M}\int_a^b\int_{h(x)}^{g(x)} y\ dy\ dx=\frac{1}{M}\int_a^b\frac{[g(x)^2-h(x)^2]}{2}\ dx $
e la Corda Media Aerodinamica è:
$[2]$ $ CMA =\frac{1}{M}\int_0^b\[g(x)-h(x)]^2\ dx $
La banale ovvietà è che:
$[3]$ $CMA = g(x_G) - h(x_G)$.
Ometto la formula per il calcolo di $x_G$. I ri-calcoli fatti per alcuni casi numerici con la formula $[3]$ danno ragione alla formula $[2]$ ma ciò non costituisce una dimostrazione, che purtroppo io non vedo e che ovviamente sarà banalissima!
Grazie a tutti.
sono nuovo del Forum. L'argomento di questo messaggio mi interessa perché è collegato al mio interesse per l'aerodinamica degli aerei.
Vengo al sodo.
La formula:
$y_G=\frac{1}{M}\int_a^b\int_0^{f(x)} y\ dy\ dx=\frac{1}{M}\int_a^b\frac{[f(x)]^2}{2}\ dx $
non è in discussione.
Supponiamo ora che la $f(x)$ rappresenti - in pianta - il Bordo di entrata della semiala di un ipotetico aereo (la fusoliera sta sull'asse delle y) e che l'asse delle x rappresenti il Bordo di uscita. Poniamo $a = 0$. $b$ è l'apertura della semiala. $M$ è la superficie della semiala.
I sacri testi di aerodinamica dicono che la formula:
$ CMA =\frac{1}{M}\int_0^b\[f(x)]^2\ dx $
rappresenta la lunghezza della "Corda" (cioè la distanza fra il Bodo di entrata e il Bordo di uscita) che passa per il centro di figura della semiala.
$CMA$ sta per Corda Media Aerodinamica.
La $f(x)$ è la legge di variazione della corda lungo l'apertura alare.
La questione andrebbe generalizzata ponendo $f(x) = g(x) - h(x)$ dove $g(x)$ e $h(x)$ sono le funzioni che definiscono la linea del bordo di entrata e del bordo di uscita. A meno di miei pasticci con le formule, l'ordinata del centro di figura della semiala è:
$y_G=\frac{1}{M}\int_a^b\int_{h(x)}^{g(x)} y\ dy\ dx=\frac{1}{M}\int_a^b\frac{[g(x)^2-h(x)^2]}{2}\ dx $
e la Corda Media Aerodinamica è:
$[2]$ $ CMA =\frac{1}{M}\int_0^b\[g(x)-h(x)]^2\ dx $
La banale ovvietà è che:
$[3]$ $CMA = g(x_G) - h(x_G)$.
Ometto la formula per il calcolo di $x_G$. I ri-calcoli fatti per alcuni casi numerici con la formula $[3]$ danno ragione alla formula $[2]$ ma ciò non costituisce una dimostrazione, che purtroppo io non vedo e che ovviamente sarà banalissima!
Grazie a tutti.
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