Forme indeterminate nelle derivazioni
Ho un grosso problema con le derivate.
A parte il fatto che la stragrande maggioranza di volte mi viene che la derivata nel punto x è valore numerico 0, le volte che non succede capita (non molto di frequente per fortuna) che mi venga 0/0, che debbo fare?
Per esempio, in un esercizio dove ho un sistema f(x)=sinx con x<0 e e^x con x>=0 e mi dice di capire se la funzione è derivabile in x=0. Allora io naturalmente faccio il passaggio al limite del rapporto incrementale, il classico insomma, però sorpresa sorpresa mi viene 0/0. Io però ho fatto caso che alla fine mi viene sinh/h, quindi se io quella h la potessi trattare come una x userei il limite notevole sinx/x con x->0, solo che non so se si può fare. Se non si può fare però non ho idea di come risolvere sta cosa visto che non so come interpretare una forma indeterminata in questo caso D:
HEEEEELP, grazie a chiunque risponda.
A parte il fatto che la stragrande maggioranza di volte mi viene che la derivata nel punto x è valore numerico 0, le volte che non succede capita (non molto di frequente per fortuna) che mi venga 0/0, che debbo fare?
Per esempio, in un esercizio dove ho un sistema f(x)=sinx con x<0 e e^x con x>=0 e mi dice di capire se la funzione è derivabile in x=0. Allora io naturalmente faccio il passaggio al limite del rapporto incrementale, il classico insomma, però sorpresa sorpresa mi viene 0/0. Io però ho fatto caso che alla fine mi viene sinh/h, quindi se io quella h la potessi trattare come una x userei il limite notevole sinx/x con x->0, solo che non so se si può fare. Se non si può fare però non ho idea di come risolvere sta cosa visto che non so come interpretare una forma indeterminata in questo caso D:
HEEEEELP, grazie a chiunque risponda.
Risposte
Ciao barragan! Quello che devi verificare è che la derivata destra e sinistra siano finite e uguali. Nel nostro caso:
$lim_(h -> 0^-) \frac {sin(h)}{h}=1$
e
$lim_(h -> 0^+) \frac {e^h - 1}{h}=1$
Ne segue che f è derivabile in 0!
Nota: puoi benissimo usare i limiti notevoli anche se c'è h e non x !! la x rappresenta la variabile indipendente della funzione e il simbolo x è convenzionalmente adottato dalla maggior parte delle persone per ragioni a me oscure!
Spero di essere stato chiaro e non ambiguo!
Saluti
$lim_(h -> 0^-) \frac {sin(h)}{h}=1$
e
$lim_(h -> 0^+) \frac {e^h - 1}{h}=1$
Ne segue che f è derivabile in 0!
Nota: puoi benissimo usare i limiti notevoli anche se c'è h e non x !! la x rappresenta la variabile indipendente della funzione e il simbolo x è convenzionalmente adottato dalla maggior parte delle persone per ragioni a me oscure!
Spero di essere stato chiaro e non ambiguo!
Saluti
Ciao e grazie.
Ma quindi fammi capire bene, tu hai verificato l'intorno destro con la funzione che risulta alla destra del punto 0 e l'intorno sinistro con la funzione che risulta a sinistra di 0, questo è stato perchè i limiti delle due funzioni tendono rispettivamente allo 0 una da destra e una da sinistra? Quindi tendendo verso lo stesso punto anche se non sono la stessa funzione valgono come intorno destro e sinistro dello stesso punto?
Ma quindi fammi capire bene, tu hai verificato l'intorno destro con la funzione che risulta alla destra del punto 0 e l'intorno sinistro con la funzione che risulta a sinistra di 0, questo è stato perchè i limiti delle due funzioni tendono rispettivamente allo 0 una da destra e una da sinistra? Quindi tendendo verso lo stesso punto anche se non sono la stessa funzione valgono come intorno destro e sinistro dello stesso punto?
Ciao! Allora mi pare che ci sia un po' di confusione.. l'idea che hai mi sembra corretta (correggimi nel caso): la derivata, o limite del rapporto incrementale che dir si voglia, ovviamente deve essere calcolata prendendo in considerazione la funzione definita nel punto interessato! se per esempio avessimo voglia di calcolare la derivata in $x=-4$ di $ln(x)$ beh perderemmo tempo inutilmente perchè è un punto per cui il logaritmo non è definito! cosi nel caso del tuo esercizio poichè la richiesta è di vedere se in $0$ f è derivabile occorre effettuare il calcolo dei due limiti (destro e sinistro) ciascuno relativo alla funzione in cui lo $0$ è definito: non avrebbe senso calcolare il limite del seno per x che tende zero da destra perchè in quel caso il seno è definito solo per x minori di zero!
Se ci fossero ancora dubbi puoi provare a chiarirti ulteriormente le idee con l'immagine che ti posto: in blu vedi il grafico della funzione e in rosso le tangenti i cui coefficienti angolari rappresentano le derivate in zero (sono uguali e valgono uno)
Saluti
Se ci fossero ancora dubbi puoi provare a chiarirti ulteriormente le idee con l'immagine che ti posto: in blu vedi il grafico della funzione e in rosso le tangenti i cui coefficienti angolari rappresentano le derivate in zero (sono uguali e valgono uno)
Saluti
avevo intuito leggermente sbagliato ma ora è chiarissimo 
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