Forme Indeterminate nel Calcolo dei Limiti
Avrei bisogno di qualcuno che mi rassicurasse sulla correttezza del mio perato
GRAZIE!
GRAZIE!
Risposte
No , il,risultato corretto è $ 00 $ .
Devi raccogliere sia a numeratore che a denominatore x con il massimo grado possibile e quindi avere :
$(x^3[1+1/x-2/x^2-1/x^2])/(x^2[1-1/x^2]) $ e quindi semplificando ottieni : $( x[1+1/x-2/x^2-1/x^2])/[1-1/x^2]$
Adesso se fai tendere $x rarr 00 $ ottieni che sia a numeratore che a denominatore i termini entro parentesi quadra tendono a 1 , resta quindi $ x $ che tende a $+00 $ che è il limite cercato .
Devi raccogliere sia a numeratore che a denominatore x con il massimo grado possibile e quindi avere :
$(x^3[1+1/x-2/x^2-1/x^2])/(x^2[1-1/x^2]) $ e quindi semplificando ottieni : $( x[1+1/x-2/x^2-1/x^2])/[1-1/x^2]$
Adesso se fai tendere $x rarr 00 $ ottieni che sia a numeratore che a denominatore i termini entro parentesi quadra tendono a 1 , resta quindi $ x $ che tende a $+00 $ che è il limite cercato .
ma no fa infinito, il numeratore diberge come $x^3$ 
Ti riferisci a me o a Bemipefe ? ho ben scritto che fa $ 00 $ = infinito .
ah mi riferivo a bemipefe, cmq puoi scrivere ifninito con infty tra dollari
"GuillaumedeL'Hopital":
ah mi riferivo a bemipefe, cmq puoi scrivere ifninito con infty tra dollari
O anche con \$oo\$ = $oo$
Ok Grazie!
...ma non ho capito perchè devo usare il massimo grado di $x$ per raccogliere. In fondo raccogliendo con $x$ , $x^2$ o $x^n$ ottengo sempre un espressione equivalente.
O no?
...ma non ho capito perchè devo usare il massimo grado di $x$ per raccogliere. In fondo raccogliendo con $x$ , $x^2$ o $x^n$ ottengo sempre un espressione equivalente.
O no?
Conviene raccogliere il massimo grado perchè così entro parentesi ottieni la somma di un numero e di termini che avendo x o sue potenze solo a denominatore , quando esegui il limite per x che tende a $oo$ , vanno a zero ed hai così eliminato l'indecisione .
Esempio : se hai $ x^3-2x^2+4x-5) = x^3(1 -2/x +4/x^2 -5/x^3 ) $ adesso entro parentesi hai : 1 + termini che vanno a zero e quindi il limite dell'espressione entro parentesi , quando x tende a + $oo$ è appunto 1 : resta poi il termine $ x^3 $ fuori parentesi che tende ovviamnete a $ +oo $ e quidni l'espressione originaria tende a $ +oo $.
Nota che l'espressione iniziale $ x^3-2x^2+4x-5 $ è una forma di indecisione perchè avresti : $+oo -oo+oo $ Spero di essermi spiegato , se hai dubbi chiedi ancora perchè è un punto importante da avere chiaro nello lo studio dei limiti.
Esempio : se hai $ x^3-2x^2+4x-5) = x^3(1 -2/x +4/x^2 -5/x^3 ) $ adesso entro parentesi hai : 1 + termini che vanno a zero e quindi il limite dell'espressione entro parentesi , quando x tende a + $oo$ è appunto 1 : resta poi il termine $ x^3 $ fuori parentesi che tende ovviamnete a $ +oo $ e quidni l'espressione originaria tende a $ +oo $.
Nota che l'espressione iniziale $ x^3-2x^2+4x-5 $ è una forma di indecisione perchè avresti : $+oo -oo+oo $ Spero di essermi spiegato , se hai dubbi chiedi ancora perchè è un punto importante da avere chiaro nello lo studio dei limiti.
Si si.....ho capito quello che vuoi dire.
Mah non ho capito se è una questione di "convenienza" oppure esiste una regola precise che dice che biaogna agire così.
Perchè in fondo io ad esempio possoscrivere:
$x((sqrt(x)) /x^2)$
oppure posso scrivere
$sqrt(x) / x$
....non sono forse la stessa cosa? E allora perchè sono obbligato a scrivere....
$x^2((sqrt(x)) /x^3)$
...questo? Sperando di aver fatto bene i conti e di essermi spiegato....
CIAO!
Mah non ho capito se è una questione di "convenienza" oppure esiste una regola precise che dice che biaogna agire così.
Perchè in fondo io ad esempio possoscrivere:
$x((sqrt(x)) /x^2)$
oppure posso scrivere
$sqrt(x) / x$
....non sono forse la stessa cosa? E allora perchè sono obbligato a scrivere....
$x^2((sqrt(x)) /x^3)$
...questo? Sperando di aver fatto bene i conti e di essermi spiegato....
CIAO!
Se non sbaglio nei tuoi calcoli del limite iniziale c'è un errore.
$... = \frac{(x+1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2})}{1-\frac{1}{x^2}} = \frac{x^2\cdot (\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}-\frac{1}{x^3})}{x^2\cdot (1-\frac{1}{x^3})}$
$... = \frac{(x+1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2})}{1-\frac{1}{x^2}} = \frac{x^2\cdot (\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}-\frac{1}{x^3})}{x^2\cdot (1-\frac{1}{x^3})}$
@ Bemipefe : certamente le diverse scritture che hai indicato sono equivalenti .
Nel calcolo di limiti che si presentano in formaq indefinita bisogna usare i " trucchi " che portano facilmente al risultato, altrimenti puoi riempire il foglio di passaggi giustissimi ma che non ti porteranno mai a trovare il risultato, cioè il valore del limite .
Mi spiego con un esempio.
Sia da calcolare $ lim_(x rarr +oo) (3x^2+1)/(5x^2+x) $
* Strada fruttuosa : raccogliere a fattor comune sia a numeratore che a denominatore x con il max esponente possibile ottenendo :
$(x^2[3+1/x^2])/(x^2[5+1/x]) $ ; $x^2 $ del numeratore e del denominatore si semplificano e cosa ancor più importante sia al num che al denom , quando fai tendere x a $ +oo $ ottieni $3/5$ che non è più una forma indeterminata e che è il valore del limite cercato.
*strada non utile se tu avessi raccolto x sia al numeratore che al denominatore , è vero si semplificano tra loro ma cosa resta ? resta questo : $[3x+1/x]/[5x+1/x] $ che è ancora una forma indeterminata $ oo/oo$ .
ok ?
Nel calcolo di limiti che si presentano in formaq indefinita bisogna usare i " trucchi " che portano facilmente al risultato, altrimenti puoi riempire il foglio di passaggi giustissimi ma che non ti porteranno mai a trovare il risultato, cioè il valore del limite .
Mi spiego con un esempio.
Sia da calcolare $ lim_(x rarr +oo) (3x^2+1)/(5x^2+x) $
* Strada fruttuosa : raccogliere a fattor comune sia a numeratore che a denominatore x con il max esponente possibile ottenendo :
$(x^2[3+1/x^2])/(x^2[5+1/x]) $ ; $x^2 $ del numeratore e del denominatore si semplificano e cosa ancor più importante sia al num che al denom , quando fai tendere x a $ +oo $ ottieni $3/5$ che non è più una forma indeterminata e che è il valore del limite cercato.
*strada non utile se tu avessi raccolto x sia al numeratore che al denominatore , è vero si semplificano tra loro ma cosa resta ? resta questo : $[3x+1/x]/[5x+1/x] $ che è ancora una forma indeterminata $ oo/oo$ .
ok ?
Se non sbaglio nei tuoi calcoli del limite iniziale c'è un errore. Wink
Hai ragione ho sbagliato al denominatore.... Grazie!
ok ?
Ok Ok. Però raccogliendo di nuovo un altra volta la $x$ nell'equazione che mi hai postato arrivavi comunque al risultato. Si è verò però che così ti complichi e e allunghi il tempo di risoluzione. Io non avevo preso il massimo grado di $x$ semplicemente perchè mi faceva comodo semplificarlo con quello di sotto.... vabbe ma poi ho fatto anche errori di calcolo.
Comunque adesso ho capito il motivo di quello che mi dicevi ......Grazie!
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